☰

Как определить что функция непрерывна. Понятие непрерывности функции. Два замечательных предела

Определение непрерывности по Гейне

Говорят, что функция действительного переменного \(f\left(x \right)\) является непрерывной в точке \(a \in \mathbb{R}\) (\(\mathbb{R}-\)множество действительных чисел), если для любой последовательности \(\left\{ {{x_n}} \right\}\), такой, что \[\lim\limits_{n \to \infty } {x_n} = a,\] выполняется соотношение \[\lim\limits_{n \to \infty } f\left({{x_n}} \right) = f\left(a \right).\] На практике удобно использовать следующие \(3\) условия непрерывности функции \(f\left(x \right)\) в точке \(x = a\) (которые должны выполняться одновременно):

  1. Функция \(f\left(x \right)\) определена в точке \(x = a\);
  2. Предел \(\lim\limits_{x \to a} f\left(x \right)\) существует;
  3. Выполняется равенство \(\lim\limits_{x \to a} f\left(x \right) = f\left(a \right)\).

Определение непрерывности по Коши (нотация \(\varepsilon - \delta\))

Рассмотрим функцию \(f\left(x \right)\), которая отображает множество действительных чисел \(\mathbb{R}\) на другое подмножество \(B\) действительных чисел. Говорят, что функция \(f\left(x \right)\) является непрерывной в точке \(a \in \mathbb{R}\), если для любого числа \(\varepsilon > 0\) существует число \(\delta > 0\), такое, что для всех \(x \in \mathbb{R}\), удовлетворяющих соотношению \[\left| {x - a} \right| Определение непрерывности в терминах приращений аргумента и функции

Определение непрерывности можно также сформулировать, используя приращения аргумента и функции. Функция является непрерывной в точке \(x = a\), если справедливо равенство \[\lim\limits_{\Delta x \to 0} \Delta y = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \left[ {f\left({a + \Delta x} \right) - f\left(a \right)} \right] = 0,\] где \(\Delta x = x - a\).

Приведенные определения непрерывности функции эквивалентны на множестве действительных чисел.

Функция является непрерывной на данном интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Теоремы непрерывности

Теорема 1.
Пусть функция \(f\left(x \right)\) непрерывна в точке \(x = a\) и \(C\) является константой. Тогда функция \(Cf\left(x \right)\) также непрерывна при \(x = a\).

Теорема 2.
Даны две функции \({f\left(x \right)}\) и \({g\left(x \right)}\), непрерывные в точке \(x = a\). Тогда сумма этих функций \({f\left(x \right)} + {g\left(x \right)}\) также непрерывна в точке \(x = a\).

Теорема 3.
Предположим, что две функции \({f\left(x \right)}\) и \({g\left(x \right)}\) непрерывны в точке \(x = a\). Тогда произведение этих функций \({f\left(x \right)} {g\left(x \right)}\) также непрерывно в точке \(x = a\).

Теорема 4.
Даны две функции \({f\left(x \right)}\) и \({g\left(x \right)}\), непрерывные при \(x = a\). Тогда отношение этих функций \(\large\frac{{f\left(x \right)}}{{g\left(x \right)}}\normalsize\) также непрерывно при \(x = a\) при условии, что \({g\left(a \right)} \ne 0\).

Теорема 5.
Предположим, что функция \({f\left(x \right)}\) является дифференцируемой в точке \(x = a\). Тогда функция \({f\left(x \right)}\) непрерывна в этой точке (т.е. из дифференцируемости следует непрерывность функции в точке; обратное − неверно).

Теорема 6 (Теорема о предельном значении).
Если функция \({f\left(x \right)}\) непрерывна на закрытом и ограниченном интервале \(\left[ {a,b} \right]\), то она ограничена сверху и снизу на данном интервале. Другими словами, существуют числа \(m\) и \(M\), такие, что \ для всех \(x\) в интервале \(\left[ {a,b} \right]\) (рисунок 1).

Рис.1

Рис.2

Теорема 7 (Теорема о промежуточном значении).
Пусть функция \({f\left(x \right)}\) непрерывна на закрытом и ограниченном интервале \(\left[ {a,b} \right]\). Тогда, если \(c\) − некоторое число, большее \({f\left(a \right)}\) и меньшее \({f\left(b \right)}\), то существует число \({x_0}\), такое, что \ Данная теорема проиллюстрирована на рисунке 2.

Непрерывность элементарных функций

Все элементарные функции являются непрерывными в любой точке свой области определения.

Функция называется элементарной , если она построена из конечного числа композиций и комбинаций
(с использованием \(4\) действий - сложение, вычитание, умножение и деление) . Множество основных элементарных функций включает в себя:

Непрерывная функция представляет собой функцию без «скачков», то есть такую, для которой выполняется условие: малым изменениям аргумента следуют малые изменения соответствующих значений функции. График подобной функции представляет из себя плавную или непрерывную кривую.

Непрерывность в точке, предельной для некоторого множества, можно определить с помощью понятия предела, а именно: функция должна иметь в этой точке предел, который равен ее значению в предельной точке.

При нарушении этих условий в некоторой точке, говорят, что функция в данной точке терпит разрыв, то есть ее непрерывность нарушается. На языке пределов точку разрыва можно описать как несовпадение значения функции в разрывной точке с пределом функции (если он существует).

Точка разрыва может быть устранимой, для этого необходимо существование предела функции, но несовпадающего с его значением в заданной точке. В этом случае ее в этой точке можно «поправить», то есть доопределить до непрерывности.
Совсем иная картина складывается, если предела функции в заданной существует. Возможно два варианта точек разрыва:

  • первого рода - имеются и конечны оба из односторонних пределов, и значение одного из них или обоих не совпадают со значением функции в заданной точке;
  • второго рода, когда не существует один или оба из односторонних пределов или их значения бесконечны.

Свойства непрерывных функций

  • Функция, полученная в результат арифметических действий, а также суперпозиции непрерывных функций на их области определения также является непрерывной.
  • Если дана непрерывная функция, которая положительна в некоторой точке, то всегда можно найти достаточно малую ее окрестность, на которой она сохранит свой знак.
  • Аналогично, если ее значения в двух точках A и B равны, соответственно, a и b, причем a отлично от b, то для промежуточных точек она примет все значения из промежутка (a ; b). Отсюда можно сделать интересное заключение: если дать растянутой резинке сжаться так, чтобы она не провисала (оставалась прямолинейной), то одна из ее точек останется неподвижной. А геометрически это означает, что существует прямая, проходящая через любую промежуточную точку между A и B, которая пересекает график функции.

Отметим некоторые из непрерывных (на области их определения) элементарных функций:

  • постоянная;
  • рациональная;
  • тригонометрические.

Между двумя фундаментальными понятиями в математике - непрерывностью и дифференцируемостью - существует неразрывная связь. Достаточно только вспомнить, что для дифференцируемости функции необходимо, чтобы это была непрерывная функция.

Если же функция в некоторой точке дифференцируема, то там она непрерывна. Однако совсем не обязательно, чтобы и ее производная была непрерывной.

Функция, имеющая на некотором множестве непрерывную производную, принадлежит отдельному классу гладких функций. Иначе говоря, это - непрерывно дифференцируемая функция. Если же производная имеет ограниченное количество точек разрыва (только первого рода), то подобную функцию называют кусочно гладкой.

Еще одним важным понятием является равномерная непрерывность функции, то есть ее способность быть в любой точке своей области определения одинаково непрерывной. Таким образом, это свойство, которое рассматривается на множестве точек, а не в какой-либо отдельно взятой.

Если же зафиксировать точку, то получится не что иное, как определение непрерывности, то есть из наличия равномерной непрерывности вытекает, что перед нами непрерывная функция. Вообще говоря, обратное утверждение неверно. Однако согласно теореме Кантора, если функция непрерывна на компакте, то есть на замкнутом промежутке, то она на нем равномерно непрерывна.

Непрерывность функции. Точки разрыва.

Идет бычок, качается, вздыхает на ходу:
– Ох, доска кончается, сейчас я упаду!

На данном уроке мы разберём понятие непрерывности функции, классификацию точек разрыва и распространённую практическую задачу исследования функции на непрерывность . Из самого названия темы многие интуитивно догадываются, о чём пойдёт речь, и думают, что материал довольно простой. Это правда. Но именно несложные задачи чаще всего наказывают за пренебрежение и поверхностный подход к их решению. Поэтому рекомендую очень внимательно изучить статью и уловить все тонкости и технические приёмы.

Что нужно знать и уметь? Не очень-то и много. Для качественного усвоения урока необходимо понимать, что такое предел функции . Читателям с низким уровнем подготовки достаточно осмыслить статью Пределы функций. Примеры решений и посмотреть геометрический смысл предела в методичке Графики и свойства элементарных функций . Также желательно ознакомиться с геометрическими преобразованиями графиков , поскольку практика в большинстве случаев предполагает построение чертежа. Перспективы оптимистичны для всех, и даже полный чайник сумеет самостоятельно справиться с задачей в ближайший час-другой!

Непрерывность функции. Точки разрыва и их классификация

Понятие непрерывности функции

Рассмотрим некоторую функцию , непрерывную на всей числовой прямой:

Или, говоря лаконичнее, наша функция непрерывна на (множестве действительных чисел).

Каков «обывательский» критерий непрерывности? Очевидно, что график непрерывной функции можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги.

При этом следует чётко отличать два простых понятия: область определения функции и непрерывность функции . В общем случае это не одно и то же . Например:

Данная функция определена на всей числовой прямой, то есть для каждого значения «икс» существует своё значение «игрека» . В частности, если , то . Заметьте, что другая точка выколота, ведь по определению функции, значению аргумента должно соответствовать единственное значение функции. Таким образом, область определения нашей функции: .

Однако эта функция не является непрерывной на ! Совершенно очевидно, что в точке она терпит разрыв . Термин тоже вполне вразумителен и нагляден, действительно, карандаш здесь по любому придётся оторвать от бумаги. Немного позже мы рассмотрим классификацию точек разрыва.

Непрерывность функции в точке и на интервале

В той или иной математической задаче речь может идти о непрерывности функции в точке, непрерывности функции на интервале, полуинтервале или непрерывности функции на отрезке. То есть, не существует «просто непрерывности» – функция может быть непрерывной ГДЕ-ТО. И основополагающим «кирпичиком» всего остального является непрерывность функции в точке .

Теория математического анализа даёт определение непрерывности функции в точке с помощью «дельта» и «эпсилон» окрестностей, но на практике в ходу другое определение, которому мы и уделим самое пристальное внимание.

Сначала вспомним односторонние пределы , ворвавшиеся в нашу жизнь на первом уроке о графиках функций . Рассмотрим будничную ситуацию:

Если приближаться по оси к точке слева (красная стрелка), то соответствующие значения «игреков» будут идти по оси к точке (малиновая стрелка). Математически данный факт фиксируется с помощью левостороннего предела :

Обратите внимание на запись (читается «икс стремится к ка слева»). «Добавка» «минус ноль» символизирует , по сути это и обозначает, что мы подходим к числу с левой стороны.

Аналогично, если приближаться к точке «ка» справа (синяя стрелка), то «игреки» придут к тому же значению , но уже по зелёной стрелке, и правосторонний предел оформится следующим образом:

«Добавка» символизирует , и запись читается так: «икс стремится к ка справа».

Если односторонние пределы конечны и равны (как в нашем случае): , то будем говорить, что существует ОБЩИЙ предел . Всё просто, общий предел – это наш «обычный» предел функции , равный конечному числу.

Заметьте, что если функция не определена при (выколите чёрную точку на ветке графика), то перечисленные выкладки остаются справедливыми. Как уже неоднократно отмечалось, в частности, в статье о бесконечно малых функциях , выражения означают, что «икс» бесконечно близко приближается к точке , при этом НЕ ИМЕЕТ ЗНАЧЕНИЯ , определена ли сама функция в данной точке или нет. Хороший пример встретится в следующем параграфе, когда анализу подвергнется функция .

Определение : функция непрерывна в точке , если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке: .

Определение детализируется в следующих условиях:

1) Функция должна быть определена в точке , то есть должно существовать значение .

2) Должен существовать общий предел функции . Как отмечалось выше, это подразумевает существование и равенство односторонних пределов: .

3) Предел функции в данной точке должен быть равен значению функции в этой точке: .

Если нарушено хотя бы одно из трёх условий, то функция теряет свойство непрерывности в точке .

Непрерывность функции на интервале формулируется остроумно и очень просто: функция непрерывна на интервале , если она непрерывна в каждой точке данного интервала.

В частности, многие функции непрерывны на бесконечном интервале , то есть на множестве действительных чисел . Это линейная функция, многочлены, экспонента, синус, косинус и др. И вообще, любая элементарная функция непрерывна на своей области определения , так, например, логарифмическая функция непрерывна на интервале . Надеюсь, к данному моменту вы достаточно хорошо представляете, как выглядят графики основных функций. Более подробную информацию об их непрерывности можно почерпнуть у доброго человека по фамилии Фихтенгольц.

С непрерывностью функции на отрезке и полуинтервалах тоже всё несложно, но об этом уместнее рассказать на уроке о нахождении минимального и максимального значений функции на отрезке , а пока голову забивать не будем.

Классификация точек разрыва

Увлекательная жизнь функций богата всякими особенными точками, и точки разрыва лишь одна из страничек их биографии.

Примечание : на всякий случай остановлюсь на элементарном моменте: точка разрыва – это всегда отдельно взятая точка – не бывает «несколько точек разрыва подряд», то есть, нет такого понятия, как «интервал разрывов».

Данные точки в свою очередь подразделяются на две большие группы: разрывы первого рода и разрывы второго рода . У каждого типа разрыва есть свои характерные особенности, которые мы рассмотрим прямо сейчас:

Точка разрыва первого рода

Если в точке нарушено условие непрерывности и односторонние пределы конечны , то она называется точкой разрыва первого рода .

Начнём с самого оптимистичного случая. По первоначальной задумке урока я хотел рассказать теорию «в общем виде», но чтобы продемонстрировать реальность материала, остановился на варианте с конкретными действующими лицами.

Уныло, как фото молодожёнов на фоне Вечного огня, но нижеследующий кадр общепринят. Изобразим на чертеже график функции :


Данная функция непрерывна на всей числовой прямой, кроме точки . И в самом деле, знаменатель же не может быть равен нулю. Однако в соответствии со смыслом предела – мы можем бесконечно близко приближаться к «нулю» и слева и справа, то есть, односторонние пределы существуют и, очевидно, совпадают:
(Условие №2 непрерывности выполнено).

Но функция не определена в точке , следовательно, нарушено Условие №1 непрерывности, и функция терпит разрыв в данной точке.

Разрыв такого вида (с существующим общим пределом ) называют устранимым разрывом . Почему устранимым? Потому что функцию можно доопределить в точке разрыва:

Странно выглядит? Возможно. Но такая запись функции ничему не противоречит! Теперь разрыв устранён и все счастливы:


Выполним формальную проверку:

2) – общий предел существует;
3)

Таким образом, все три условия выполнены, и функция непрерывна в точке по определению непрерывности функции в точке.

Впрочем, ненавистники матана могут доопределить функцию нехорошим способом, например :


Любопытно, что здесь выполнены первые два условия непрерывности:
1) – функция определена в данной точке;
2) – общий предел существует.

Но третий рубеж не пройден: , то есть предел функции в точке не равен значению данной функции в данной точке.

Таким образом, в точке функция терпит разрыв.

Второй, более грустный случай носит название разрыва первого рода со скачком . А грусть навевают односторонние пределы, которые конечны и различны . Пример изображён на втором чертеже урока. Такой разрыв возникает, как правило, в кусочно-заданных функциях , о которых уже упоминалось в статье о преобразованиях графиков .

Рассмотрим кусочную функцию и выполним её чертёж. Как построить график? Очень просто. На полуинтервале чертим фрагмент параболы (зеленый цвет), на интервале – отрезок прямой (красный цвет) и на полуинтервале – прямую (синий цвет).

При этом в силу неравенства значение определено для квадратичной функции (зелёная точка), и в силу неравенства , значение определено для линейной функции (синяя точка):

В самом-самом тяжёлом случае следует прибегнуть к поточечному построению каждого куска графика (см. первый урок о графиках функций ).

Сейчас нас будет интересовать только точка . Исследуем её на непрерывность:

2) Вычислим односторонние пределы.

Слева у нас красный отрезок прямой, поэтому левосторонний предел:

Справа – синяя прямая, и правосторонний предел:

В результате получены конечные числа , причем они не равны . Поскольку односторонние пределы конечны и различны : , то наша функция терпит разрыв первого рода со скачком .

Логично, что разрыв не устраним – функцию действительно не доопределить и «не склеить», как в предыдущем примере.

Точки разрыва второго рода

Обычно к данной категории хитро относят все остальные случаи разрыва. Всё перечислять не буду, поскольку на практике в 99%-ти процентах задач вам встретится бесконечный разрыв – когда левосторонний или правосторонний, а чаще, оба предела бесконечны.

И, конечно же, самая напрашивающаяся картинка – гипербола в точке ноль. Здесь оба односторонних предела бесконечны: , следовательно, функция терпит разрыв второго рода в точке .

Я стараюсь наполнять свои статьи максимально разнообразным содержанием, поэтому давайте посмотрим на график функции , который ещё не встречался:

по стандартной схеме:

1) Функция не определена в данной точке, поскольку знаменатель обращается в ноль.

Конечно, можно сразу сделать вывод о том, что функция терпит разрыв в точке , но хорошо бы классифицировать характер разрыва, что часто требуется по условию. Для этого:



Напоминаю, что под записью понимается бесконечно малое отрицательное число , а под записью – бесконечно малое положительное число .

Односторонние пределы бесконечны, значит, функция терпит разрыв 2-го рода в точке . Ось ординат является вертикальной асимптотой для графика.

Не редка ситуация, когда оба односторонних предела существуют, но бесконечен только один из них, например:

Это график функции .

Исследуем на непрерывность точку :

1) Функция не определена в данной точке.

2) Вычислим односторонние пределы:

О методике вычисления таких односторонних пределов поговорим в двух последних примерах лекции, хотя многие читатели всё уже увидели и догадались.

Левосторонний предел конечен и равен нулю (в саму точку мы «не заходим»), но правосторонний предел бесконечен и оранжевая ветка графика бесконечно близко приближается к своей вертикальной асимптоте , заданной уравнением (чёрный пунктир).

Таким образом, функция терпит разрыв второго рода в точке .

Как и для разрыва 1-го рода, в самой точке разрыва функция может быть определена. Например, для кусочной функции смело ставим чёрную жирную точку в начале координат. Справа же – ветка гиперболы, и правосторонний предел бесконечен. Думаю, почти все представили, как выглядит этот график.

То, чего все с нетерпением ждали:

Как исследовать функцию на непрерывность?

Исследование функции на непрерывность в точке проводится по уже накатанной рутинной схеме, которая состоит в проверке трёх условий непрерывности:

Пример 1

Исследовать функцию

Решение :

1) Под прицел попадает единственная точка , в которой функция не определена.

2) Вычислим односторонние пределы:

Односторонние пределы конечны и равны.

Таким образом, в точке функция терпит устранимый разрыв.

Как выглядит график данной функции?

Хочется провести упрощение , и вроде бы получается обычная парабола. НО исходная функция не определена в точке , поэтому обязательна следующая оговорка:

Выполним чертёж:

Ответ : функция непрерывна на всей числовой прямой кроме точки , в которой она терпит устранимый разрыв.

Функцию можно доопределить хорошим или не очень способом, но по условию этого не требуется.

Вы скажете, пример надуманный? Ничуть. Десятки раз встречалось на практике. Почти все задачи сайта родом из реальных самостоятельных и контрольных работ.

Разделаемся с любимыми модулями:

Пример 2

Исследовать функцию на непрерывность. Определить характер разрывов функции, если они существуют. Выполнить чертёж.

Решение : почему-то студенты боятся и не любят функции с модулем, хотя ничего сложного в них нет. Таких вещей мы уже немного коснулись на уроке Геометрические преобразования графиков . Поскольку модуль неотрицателен, то он раскрывается следующим образом: , где «альфа» – некоторое выражение. В данном случае , и наша функция должна расписаться кусочным образом:

Но дроби обоих кусков предстоит сократить на . Сокращение, как и в предыдущем примере, не пройдёт без последствий. Исходная функция не определена в точке , так как знаменатель обращается в ноль. Поэтому в системе следует дополнительно указать условие , и первое неравенство сделать строгим:

Теперь об ОЧЕНЬ ПОЛЕЗНОМ приёме решения : перед чистовым оформлением задачи на черновике выгодно сделать чертёж (независимо от того, требуется он по условию или нет). Это поможет, во-первых, сразу увидеть точки непрерывности и точки разрыва, а, во-вторых, 100%-но убережёт от ошибок при нахождении односторонних пределов.

Выполним чертёж. В соответствии с нашими выкладками, слева от точки необходимо начертить фрагмент параболы (синий цвет), а справа – кусок параболы (красный цвет), при этом функция не определена в самой точке :

Если есть сомнения, возьмите несколько значений «икс», подставьте их в функцию (не забывая, что модуль уничтожает возможный знак «минус») и сверьтесь с графиком.

Исследуем функцию на непрерывность аналитически:

1) Функция не определена в точке , поэтому сразу можно сказать, что не является в ней непрерывной.

2) Установим характер разрыва, для этого вычислим односторонние пределы:

Односторонние пределы конечны и различны, значит, функция терпит разрыв 1-го рода со скачком в точке . Ещё раз заметьте, что при нахождении пределов не имеет значения, определена функция в точке разрыва или нет.

Теперь остаётся перенести чертёж с черновика (он сделан как бы с помощью исследования;-)) и завершить задание:

Ответ : функция непрерывна на всей числовой прямой кроме точки , в которой она терпит разрыв первого рода со скачком.

Иногда требуют дополнительно указать скачок разрыва. Вычисляется он элементарно – из правого предела нужно вычесть левый предел: , то есть в точке разрыва наша функция прыгнула на 2 единицы вниз (о чём нам сообщает знак «минус»).

Пример 3

Исследовать функцию на непрерывность. Определить характер разрывов функции, если они существуют. Сделать чертёж.

Это пример для самостоятельного решения, примерный образец решения в конце урока.

Перейдём к наиболее популярной и распространённой версии задания, когда функция состоит из трёх кусков:

Пример 4

Исследовать функцию на непрерывность и построить график функции .

Решение : очевидно, что все три части функции непрерывны на соответствующих интервалах, поэтому осталось проверить только две точки «стыка» между кусками. Сначала выполним чертёж на черновике, технику построения я достаточно подробно закомментировал в первой части статьи. Единственное, необходимо аккуратно проследить за нашими особенными точками: в силу неравенства значение принадлежит прямой (зелёная точка), и в силу неравенство значение принадлежит параболе (красная точка):


Ну вот, в принципе, всё понятно =) Осталось оформить решение. Для каждой из двух «стыковых» точек стандартно проверяем 3 условия непрерывности:

I) Исследуем на непрерывность точку

1)



Односторонние пределы конечны и различны, значит, функция терпит разрыв 1-го рода со скачком в точке .

Вычислим скачок разрыва как разность правого и левого пределов:
, то есть, график рванул на одну единицу вверх.

II) Исследуем на непрерывность точку

1) – функция определена в данной точке.

2) Найдём односторонние пределы:

– односторонние пределы конечны и равны, значит, существует общий предел.

3) – предел функции в точке равен значению данной функции в данной точке.

На завершающем этапе переносим чертёж на чистовик, после чего ставим финальный аккорд:

Ответ : функция непрерывна на всей числовой прямой, кроме точки , в которой она терпит разрыв первого рода со скачком.

Пример 5

Исследовать функцию на непрерывность и построить её график .

Это пример для самостоятельного решения, краткое решение и примерный образец оформления задачи в конце урока.

Может сложиться впечатление, что в одной точке функция обязательно должна быть непрерывной, а в другой – обязательно должен быть разрыв. На практике это далеко не всегда так. Постарайтесь не пренебрегать оставшимися примерами – будет несколько интересных и важных фишек:

Пример 6

Дана функция . Исследовать функцию на непрерывность в точках . Построить график.

Решение : и снова сразу выполним чертёж на черновике:

Особенность данного графика состоит в том, что при кусочная функция задаётся уравнением оси абсцисс . Здесь данный участок прорисован зелёным цветом, а в тетради его обычно жирно выделяют простым карандашом. И, конечно же, не забываем про наших баранов: значение относится к ветке тангенса (красная точка), а значение принадлежит прямой .

Из чертежа всё понятно – функция непрерывна на всей числовой прямой, осталось оформить решение, которое доводится до полного автоматизма буквально после 3-4 подобных примеров:

I) Исследуем на непрерывность точку

1) – функция определена в данной точке.

2) Вычислим односторонние пределы:

, значит, общий предел существует.

На всякий пожарный напомню тривиальный факт: предел константы равен самой константе. В данном случае предел нуля равен самому нулю (левосторонний предел).

3) – предел функции в точке равен значению данной функции в данной точке.

Таким образом, функция непрерывна в точке по определению непрерывности функции в точке.

II) Исследуем на непрерывность точку

1) – функция определена в данной точке.

2) Найдём односторонние пределы:

И здесь – предел единицы равен самой единице.

– общий предел существует.

3) – предел функции в точке равен значению данной функции в данной точке.

Таким образом, функция непрерывна в точке по определению непрерывности функции в точке.

Как обычно, после исследования переносим наш чертёж на чистовик.

Ответ : функция непрерывна в точках .

Обратите внимание, что в условии нас ничего не спрашивали про исследование всей функции на непрерывность, и хорошим математическим тоном считается формулировать точный и чёткий ответ на поставленный вопрос. Кстати, если по условию не требуется строить график, то вы имеете полное право его и не строить (правда, потом преподаватель может заставить это сделать).

Небольшая математическая «скороговорка» для самостоятельного решения:

Пример 7

Дана функция . Исследовать функцию на непрерывность в точках . Классифицировать точки разрыва, если они есть. Выполнить чертёж.

Постарайтесь правильно «выговорить» все «слова» =) И график нарисовать поточнее, точность, она везде лишней не будет;-)

Как вы помните, я рекомендовал незамедлительно выполнять чертёж на черновике, но время от времени попадаются такие примеры, где не сразу сообразишь, как выглядит график. Поэтому в ряде случаев выгодно сначала найти односторонние пределы и только потом на основе исследования изобразить ветви. В двух заключительных примерах мы, кроме того, освоим технику вычисления некоторых односторонних пределов:

Пример 8

Исследовать на непрерывность функцию и построить её схематический график.

Решение : нехорошие точки очевидны: (обращает в ноль знаменатель показателя) и (обращает в ноль знаменатель всей дроби). Малопонятно, как выглядит график данной функции, а значит, сначала лучше провести исследование.

На этом уроке будем учиться устанавливать непрерывность функции. Будем делать это с помощью пределов, причем односторонних - правого и левого, которые совсем не страшны, несмотря на то что записываются как и .

Но что такое вообще непрерывность функции? Пока мы не дошли до строгого определения, проще всего представить себе линию, которую можно начертить, не отрывая карандаш от бумаги. Если такая линия начерчена, то она непрерывна. Эта линия и является графиком непрерывной функции.

Графически функция непрерывна в точке , если её график не "разрывается" в этой точке. График такой непрерывной функции - показан на рисунке ниже.

Определение непрерывности функции через предел. Функция является непрерывной в точке при соблюдении трёх условий:

1. Функция определена в точке .

Если хотя бы одно из перечисленных условий не соблюдено, функция не является непрерывной в точке. При этом говорят, что функция терпит разрыв, а точки на графике, в которых график прерывается, называются точками разрыва функции. График такой функции , терпящей разрыв в точке x=2 - на рисунке ниже.

Пример 1. Функция f (x ) определена следующим образом:

Будет ли эта функция непрерывной в каждой из граничных точек её ветвей, то есть в точках x = 0 , x = 1 , x = 3 ?

Решение. Проверяем все три условия непрерывности функции в каждой граничной точке. Первое условие соблюдается, так как то, что функция определена в каждой из граничных точек, следует из определения функции. Осталось проверить остальные два условия.

Точка x = 0 . Найдём левосторонний предел в этой точке:

.

Найдём правосторонний предел:

x = 0 должны быть найдены при той ветви функции, которая включает в себя эту точку, то есть второй ветви. Находим их:

Как видим, предел функции и значение функции в точке x = 0 равны. Следовательно, функция является непрерывной в точке x = 0 .

Точка x = 1 . Найдём левосторонний предел в этой точке:

Найдём правосторонний предел:

Предел функции и значение функции в точке x = 1 должны быть найдены при той ветви функции, которая включает в себя эту точку, то есть второй ветви. Находим их:

.

Предел функции и значение функции в точке x = 1 равны. Следовательно, функция является непрерывной в точке x = 1 .

Точка x = 3 . Найдём левосторонний предел в этой точке:

Найдём правосторонний предел:

Предел функции и значение функции в точке x = 3 должны быть найдены при той ветви функции, которая включает в себя эту точку, то есть второй ветви. Находим их:

.

Предел функции и значение функции в точке x = 3 равны. Следовательно, функция является непрерывной в точке x = 3 .

Основной вывод: данная функция является непрерывной в каждой граничной точке.

Что такое непрерывное изменение функции?

Непрерывное изменение функции можно определить как изменение постепенное, без скачков, при котором малое изменение аргумента влечёт малое изменение функции .

Проиллюстрируем это непрерывное изменение функции на примере.

Пусть над столом висит на нитке груз. Под действием этого груза нитка растягивается, поэтому расстояние l груза от точки подвеса нити является функцией массы груза m , то есть l = f (m ) , m ≥0 .

Если немного изменить массу груза, то расстояние l изменится мало: малым изменениям m соответствуют малые изменения l . Однако если масса груза близка к пределу прочности нити, то небольшое увеличение массы груза может вызвать разрыв нити: расстояние l скачкообразно увеличится и станет равным расстоянию от точки подвеса до поверхности стола. График функции l = f (m ) изображён на рисунке. На участке этот график является непрерывной (сплошной) линией, а в точке он прерывается. В результате получается график, состоящий из двух ветвей. Во всех точках, кроме , функция l = f (m ) непрерывна, а в точке она имеет разрыв.

Исследование функции на непрерывность может быть как самостоятельной задачей, так и одним из этапов полного исследования функции и построения её графика .

Непрерывность функции на промежутке

Пусть функция y = f (x ) определена в интервале ]a , b [ и непрерывна в каждой точке этого интервала. Тогда она называется непрерывной в интервале ]a , b [ . Аналогично определяется понятие непрерывности функции на промежутках вида ]- ∞, b [ , ]a , + ∞[ , ]- ∞, + ∞[ . Пусть теперь функция y = f (x ) определена на отрезке [a , b ] . Разница между интервалом и отрезком: граничные точки интервала не входят в интервал, а граничные точки отрезка входят в отрезок. Здесь следует упомянуть о так называемой односторонней непрерывности: в точке a , оставаясь на отрезке [a , b ] , мы можем приближаться только справа, а к точке b - только слева. Функция называется непрерывной на отрезке [a , b ] , если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b .

Примером непрерывной функции может служить любая из элементарных функций. Каждая элементарная функция непрерывна на любом отрезке, на котором она определена. Например, функции и непрерывны на любом отрезке [a , b ] , функция непрерывна на отрезке [0 , b ] , функция непрерывна на любом отрезке, не содержащем точку a = 2 .

Пример 4. Исследовать функцию на непрерывность.

Решение. Проверяем первое условие. Функция не определена в точках - 3 и 3. По меньшей мере одно из условий непрерывности функции на всей числовой прямой не выполняется. Поэтому данная функция является непрерывной на интервалах

.

Пример 5. Определить, при каком значении параметра a непрерывна на всей области определения функция

Решение.

Найдём правосторонний предел при :

.

Очевидно, что значение в точке x = 2 должно быть равно ax :

a = 1,5 .

Пример 6. Определить, при каких значениях параметров a и b непрерывна на всей области определения функция

Решение.
Найдём левосторонний предел функции в точке :

.

Следовательно, значение в точке должно быть равно 1:

Найдём левосторонний функции в точке :

Очевидно, что значение функции в точке должно быть равно :

Ответ: функция непрерывна на всей области определения при a = 1; b = -3 .

Основные свойства непрерывных функций

К понятию непрерывной функции математика пришла, изучая в первую очередь различные законы движения. Пространство и время бесконечны, и зависимость, например, пути s от времени t , выраженная законом s = f (t ) , даёт пример непрерывной функции f (t ) . Непрерывно изменяется и температура нагреваемой воды, она также является непрерывной функцией от времени: T = f (t ) .

В математическом анализе доказаны некоторые свойства, которыми обладают непрерывные функции. Приведём важнейшие из этих свойств.

1. Если непрерывная на интервале функция принимает на концах интервала значения разных знаков, то в некоторой точке этого отрезка она принимает значение, равное нулю. В более формальном изложении это свойство дано в теореме, известной как первая теорема Больцано-Коши.

2. Функция f (x ) , непрерывная на интервале [a , b ] , принимает все промежуточные значения между значениями в концевых точках, то есть, между f (a ) и f (b ) . В более формальном изложении это свойство дано в теореме, известной как вторая теорема Больцано-Коши.

Учреждение образования «Белорусская государственная

сельскохозяйственная академия»

Кафедра высшей математики

Методические указания

по изучению темы «Непрерывность функций одной переменной»

студентами бухгалтерского факультета заочной формы получения

образования (НИСПО)

Горки, 2013

Непрерывность функций одной переменной

    Односторонние пределы

Пусть функция
определена на множестве
. Введём понятие односторонних пределов функции при
. Будем рассматривать такие значения х , что
. Это означает, что
, оставаясь всё время слева от
при
то он называется левым пределом этой функции в точке (или при
) и обозначается

.

Пусть теперь
, оставаясь всё время справа от , т.е. оставаясь больше . Если при этом существует предел функции
, то он называется правым пределом этой функции в точке и обозначается

.

Левый и правый пределы называются односторонними пределами функции в точке.

Если существуют односторонние пределы функции в точке и они равны между собой, то функция имеет тот же предел в этой точке :



.

Если односторонние пределы функции в точке существуют, но не равны между собой, то предел функции в этой точке не существует .

    Непрерывность функции в точке

Пусть функция
определена на некотором множестве D . Пусть независимая переменная х переходит от одного своего (начального) значения
к другому (конечному) значению . Разность конечного и начального значений называется приращением величины х и обозначается
. Приращение может быть как положительным, так и отрицательным. В первом случае величина х при переходе от к х увеличивается, а во втором случае - уменьшается.

Если независимая переменная х получает некоторое приращение
, то функция
получает приращение
. Так как
, то .

Приращением функции
в точке называется разность , где
– приращение независимой переменной.

Можно дать несколько определений непрерывности функции в точке.



Функция называется непрерывной в интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Геометрически непрерывность функции
в замкнутом интервале означает, что график функции представляет собой сплошную линию без разрывов.

Непрерывные на отрезке функции обладают важными свойствами, которые выражаются следующими утверждениями.

Если функция
непрерывна на отрезке [a , b ], то она ограничена на этом отрезке.

Если функция
непрерывна на отрезке [a , b ], то она достигает на этом отрезке своего наименьшего и наибольшего значений.

Если функция
непрерывна на отрезке [a , b ] и
, то каким бы ни было число С , заключённое между числами А и В , найдётся точка
, что
.

Из этого утверждения следует, что если функция
непрерывна на [a , b ] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, то на этом отрезке существует хотя бы одна точка c , в которой функция обращается в нуль.

Справедливо следующее утверждение: если над непрерывными функциями производить арифметические действия, то в результате получается непрерывная функци я.

Пример 1 .

в точке
.

Решение . Значение функции при
есть
. Вычислим односторонние пределы функции в точке
:

Так как односторонние пределы при
равны между собой и равны значению функции в этой точке, то данная функция непрерывна в точке
.

3. Непрерывность элементарных функций

Рассмотрим функцию
. Эта постоянная функция непрерывна в любой точке , так как
.

Функция
также непрерывна в каждой точке
, так как
. Так как
, то на основании приведённого утверждения об арифметических операциях над непрерывными функциями
будет непрерывной. Непрерывными будут такжен функции
.

Аналогично можно показать непрерывность остальных элементарных функций.

Таким образом, любая элементарная функция непрерывна в своей области определения, т.е. область определения элементарной функции совпадает с областью её непрерывности.

    Непрерывность сложной и обратной функций

Пусть функция
непрерывна в точке , а функция
непрерывна в точке
. Тогда сложная функция
непрерывна в точке . Это означает, что если сложная функция составлена из непрерывных функций, то она также будет непрерывной, т.е. непрерывная функция от непрерывной функции есть функция непрерывная . Это определение распространяется на конечное число непрерывных функций.

Из этого определения следует, что под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу:

Это означает, что если функция непрерывна, то знак предела и знак функции можно поменять местами.

Пусть функция
a , b ]. Тогда обратная ей функция
определена, строго монотонна и непрерывна на отрезке [A , B ], где
.

    Точки разрыва и их классификаци я

Как уже известно, что если функция
определена на множестве D и в точке
выполняется условие
, то функция непрерывна в этой точке. Если же это условие непрерывности не выполняется, то в точке х 0 функция имеет разрыв.

Точка называется точкой разрыва первого рода функции
, если в этой точке функция имеет конечные односторонние пределы, не равные друг другу, т.е. . При этом величина

называется скачком функции
в точке .

Точка называется точкой устранимого разрыва функции
, если односторонние пределы функции в этой точке равны друг другу и не равны значению функции в этой точке, т.е. В этом случае для устранения разрыва в точке нужно положить

Точка х 0 называется точкой разрыва второго рода функции
если хотя бы один из односторонних пределов
или
в этой точке либо не существует, либо равен бесконечности.

Пример 2 . Исследовать на непрерывность функцию

.

Решение . Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой, за исключением точки
. В этой точке функция имеет разрыв. Найдём односторонние пределы функции в точке
:

Так как в точке
односторонние пределы равны между собой, а функция в этой точке не определена, то точка
является точкой устранимого разрыва. Чтобы устранить разрыв в этой точке, необходимо доопределить функцию, положив
.

Пример 3 . Исследовать на непрерывность функцию

.

Решение . Функция определена и непрерывна на всём множестве действительных чисел, кроме
. В этой точке функция имеет разрыв. Найдём односторонние пределы функции при
:

.

Так как данная функция в точке
имеет конечные односторонние пределы, не равные друг другу, то эта точка является точкой разрыва первого рода. Скачок функции в точке
равен .

Вопросы для самоконтроля знаний

    Что называется приращением аргумента и приращением функции?

    Что называется левосторонним (левым) пределом функции?

    Что называется правосторонним (правым) пределом функции?

    Какая функция называется непрерывной в точке, в интервале?

    Какая точка называется точкой разрыва функции?

    Какая точка называется точкой разрыва первого рода?

    Какая точка называется точкой разрыва второго рода?

    Какая точка называется точкой устранимого разрыва?

Задания для самостоятельной работы

Исследовать функции на непрерывность:


в точке
.