«Симметрия в геометрии» - Применение симметрии в различных областях науки и техники. Нахождение координаты точки. Фигуры, обладающие осевой симметрией. ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ - симметрия относительно точки, которая задается следующим образом: Поворотная. Вот центр, вот ось. Осевая и центральная симметрия в растительном мире. Винтовая.
«Зеркальная симметрия» - Зеркальная симметрия. Плоскость симметрии. Самые симметричные фигуры. Очень известные, но иногда загадочные. Построение изображения с помощью зеркальной симметрии сходно с отражением в зеркале. Зеркальная симметрия – симметрия относительно плоскости.
«Симметрия в мире» - Однако наиболее распространена поворотная симметрия 5-го порядка. Почему симметрия пронизывает весь окружающий нас мир? Осевая симметрия хорошо видна у бабочек. Веточки деревьев могут обладать скользящей осью симметрии. Симметрия в неживой природе. В природе красивое всегда целесообразно, а целесообразное – всегда красиво.
«Симметрия в природе» - На явление симметрии в живой природе обратили внимание ещё в Древней Греции. Осевая симметрия в жизни и природе встречается довольно часто. Осевая Центральная. Рассмотрим два вида симметрии. Греческое слово симметрия буквально обозначает «соразмерность». Учение о различных видах симметрии представляет большую и важную ветвь геометрии, тесно связанную со многими отраслями естествознания и техники, начиная от текстильного производства и кончая тонкими вопросами строения вещества.
«Симметрия в архитектуре» - Здесь мы увидели такие виды симметрии: Где же еще, как ни здесь, мог поселиться Дед Мороз? Каждая колонна – поворотная симметрия! На фото: ансамбль Соборное Дворище ночью. Рим, Акрополь. Триумфальные ворота в Петербурге в честь победы русского оружия. Не правда ли – нисколько не хуже заграницы! Страны и города.
«Осевая симметрия» - Симметрия в древней и современной архитектуре. Симметрия в природе. Буквы русского языка тоже можно рассмотреть с точки зрения симметрии. А роза упала на лапу Азора. Симметричны ли фигуры относительно прямой? Симметричный обман. Симметрия простейших фигур. Написаны тысячи таких предложений. В узорах знаменитых павловопосадских платков сочетание повторяющихся элементов.
Всего в теме 32 презентации
Симметрия в природе является объективным свойством, одним из основных в современном естествознании. Это универсальная и общая характеристика нашего материального мира.
Симметрия в природе - это понятие, которое отражает существующий в мире порядок, соразмерность и пропорциональность между элементами различных систем или объектов природы, равновесие системы, упорядоченность, устойчивость, то есть определенный
Симметрия и асимметрия - понятия противоположные. Последнее отражает разупорядочение системы, отсутствие равновесия.
Формы симметрий
Современное естествознание определяет ряд симметрий, отражающих свойства иерархии отдельных уровней организации материального мира. Известны различные виды или формы симметрий:
- пространственно-временные;
- калибровочные;
- изотопические;
- зеркальные;
- перестановочные.
Все перечисленные виды симметрий можно подразделить на внешние и внутренние.
Внешняя симметрия в природе (пространственная или геометрическая) представлена огромным многообразием. Это относится к кристаллам, живым организмам, молекулам.
Внутренняя симметрия скрыта от наших глаз. Она проявляется в законах и математических уравнениях. Например, уравнение Максвелла, определяющее взаимосвязь магнитных и электрических явлений, или свойство гравитации Эйнштейна, связывающее пространство, время и тяготение.
Для чего нужна симметрия в жизни?
Симметрия в живых организмах была сформирована в процессе эволюции. Самые первые организмы, зародившиеся в океане, имели идеальную сферическую форму. Для того чтобы внедриться в иную среду, им приходилось адаптироваться к новым условиям.
Одним из способов подобной адаптации является симметрия в природе на уровне физических форм. Симметричным расположением частей тела обеспечивается равновесие при движении, жизнестойкость и адаптация. Внешние формы человека и крупных животных имеют довольно симметричный вид. В растительном мире тоже присутствует симметрия. Например, конусообразная форма кроны ели имеет симметричную ось. Это вертикальный ствол, для устойчивости утолщенный книзу. Также симметрично по отношению к нему расположены отдельные ветви, а форма конуса позволяет рационально использовать кроной солнечной энергии. Внешняя симметрия животных помогает им сохранять равновесие при движении, обогащаться энергией из окружающей среды, используя ее рационально.
В химических и физических системах симметрия присутствует тоже. Так, наиболее устойчивыми являются молекулы, которые обладают высокой симметрией. Кристаллы - это высокосимметричные тела, в их структуре периодически повторяются три измерения элементарного атома.
Асимметрия
Иногда внутреннее расположение органов в живом организме бывает асимметричным. Например, сердце располагается у человека слева, печень - справа.
Растения в процессе жизнедеятельности из почвы поглощают химические минеральные соединения из молекул симметричной формы и в своем организме преобразуют их в асимметричные вещества: белки, крахмал, глюкозу.
Асимметрия и симметрия в природе - это две противоположные характеристики. Это категории, которые всегда находятся в борьбе и единстве. Разные уровни развития материи могут носить свойства то симметрии, то асимметрии.
Если предположить, что равновесие является состоянием покоя и симметрии, а движение и неравновесное вызвано асимметрией, то можно сказать, что понятие равновесия в биологии не менее важно, чем в физике. Биологическая характеризуется принципом устойчивости термодинамического равновесия Именно асимметрию, которая является устойчивым динамическим равновесием, можно считать ключевым принципом при решении проблемы зарождения жизни.
К понятию о симметрии мы привыкаем с детства. Мы знаем, что симметрична бабочка: у неё одинаковы правое и левое крылышки; симметрично колесо, секторы которого одинаковы; симметричны узоры орнаментов, звёздочки снежинок.
Проблеме симметрии посвящена поистине необозримая литература. От учебников и научных монографий до произведений, обращающих внимание не столько на чертежи и формулы, сколько на художественные образы.
Сам термин "симметрия" по-гречески означает "соразмерность", которую древние философы понимали как частный случай гармонии - согласования частей в рамках целого. Многие народы с древних времён владели представлением о симметрии в широком смысле - как эквиваленте уравновешенности и гармонии.
Симметрия является одной из наиболее фундаментальных и одной из наиболее общих закономерностей мироздания: неживой, живой природы и общества. С ней мы встречаемся всюду. Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания; его широко используют все без исключения направления современной науки. Действительно симметричные объекты окружают нас буквально со всех сторон, мы имеем дело с симметрией везде, где наблюдается какая-либо упорядоченность. Получается, что симметрия – это уравновешенность, упорядоченность, красота, совершенство. Она многообразна, вездесуща. Она создает красоту и гармонию. Симметрия буквально пронизывает весь окружающий нас мир, именно поэтому выбранная мной тема всегда будет актуальной.
Симметрия выражает сохранение чего-то при каких-то изменениях или сохранение чего-то, несмотря на изменение. Симметрия предполагает неизменность не только самого объекта, но и каких-либо его свойств по отношению к преобразованиям, выполненным над объектом. Неизменность тех или иных объектов может наблюдаться по отношению к разнообразным операциям – к поворотам, переносам, взаимной замене частей, отражениям и т. д. В связи с этим выделяют разные виды симметрии. Рассмотрим все виды более подробно.
ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ.
Симметрия относительно прямой называется осевой симметрией (зеркальным отражением относительно прямой).
Если точка А лежит на оси l, то она симметрична самой себе, т. е. А совпадает с А1.
В частности, если при преобразовании симметрии относительно оси l фигура F переходит сама в себя, то она называется симметричной относительно оси l, а ось l называется её осью симметрии.
ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ.
Фигура называется центрально-симметричной, если существует точка, относительно которой каждая точка фигуры симметрична некоторой точке той же фигуры. А именно: движение, изменяющее направления на противоположные, является центральной симметрией.
Точка О называется центром симметрии и является неподвижной. Других неподвижных точек это преобразование не имеет. Примерами фигур, обладающих центром симметрии, являются параллелограмм, окружность и т. д.
Знакомые понятия поворота и параллельного переноса используются при определении так называемой трансляционной симметрии. Рассмотрим трансляционную симметрию более подробно.
1. ПОВОРОТ
Преобразование, при котором каждая точка А фигуры (тела) поворачивается на один и тот же угол α вокруг заданного центра О, называется вращением или поворотом плоскости. Точка О называется центром вращения, а угол α - углом вращения. Точка О является неподвижной точкой этого преобразования.
Интересна поворотная симметрия кругового цилиндра. Он имеет бесконечное число поворотных осей 2-го порядка и одну поворотную ось бесконечно высокого порядка.
2. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС
Преобразование, при котором каждая точка фигуры (тела) перемещается в одном и том же направлении на одно и то же расстояние, называется параллельным переносом.
Чтобы задать преобразование параллельного переноса достаточно задать вектор а.
3. СКОЛЬЗЯЩАЯ СИММЕТРИЯ
Скользящей симметрией называется такое преобразование, при котором последовательно выполняются осевая симметрия параллельный перенос. Скользящая симметрия - изометрия евклидовой плоскости. Скользящей симметрией называют композицию симметрии относительно некоторой прямой l и переноса на вектор, параллельный l (этот вектор может быть и нулевым).
Скользящую симметрию можно представить в виде композиции 3 осевых симметрий (теорема Шаля).
ЗЕРКАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ
Что может быть больше похоже на мою руку или мое ухо, чем их собственное отражение в зеркале? И все же руку, которую я вижу в зеркале, нельзя поставить на место настоящей руки.
Иммануил Кант.
Если преобразование симметрии относительно плоскости переводит фигуру (тело) в себя, то фигура называется симметричной относительно плоскости, а данная плоскость – плоскостью симметрии этой фигуры. Такую симметрию называют зеркальной. Как показывает само название, зеркальная симметрия связывает некоторый предмет и его отражение в плоском зеркале. Два симметричных тела не могут быть «вложены друг в друга», так как в сравнении с самим объектом его зазеркальный двойник оказывается, вывернутым вдоль направления, перпендикулярного плоскости зеркала.
Симметричные фигуры при всем их сходстве существенно отличаются друг от друга. Наблюдаемый в зеркале двойник не является точной копией самого объекта. Зеркало не просто копирует объект, а меняет местами (представляет) передние и задние по отношению к зеркалу части объекта. Например, если у вас родинка находится на правой щеке, то у зазеркального двойника на левой. Поднесите к зеркалу книгу, – и вы увидите, что буквы как бы вывернуты наизнанку. В зеркале всё переставлено справа налево.
Зеркально равными телами называются тела, если при надлежащем их смещении они могут образовать две половины зеркально симметричного тела.
2. 2 Симметрия в природе
Фигура обладает симметрией, если существует движение (преобразование не тождественное), переводящее ее в себя. Например, фигура обладает поворотной симметрией, если она переводится в себя некоторым поворотом. Но в природе с помощью математики красота не создается, как в технике и в искусстве, а лишь фиксируется, выражается. Она не только радует глаз и вдохновляет поэтов всех времен и народов, а позволяет живым организмам лучше приспособиться к среде обитания и просто выжить.
В основе строения любой живой формы лежит принцип симметрии. Из прямого наблюдения мы можем вывести законы геометрии и почувствовать их несравненное совершенство. Этот порядок являющийся закономерной необходимостью, поскольку ничто в природе не служит чисто декоративным целям, помогает нам найти общую гармонию, на которой зиждется все мироздание.
Мы видим, что природа проектирует любой живой организм согласно определенной геометрической схеме, причем законы мироздания имеют четкое обоснование.
Принципы симметрии лежат в основе теории относительности, квантовой механики, физики твердого тела, атомной и ядерной физики, физики элементарных частиц. Эти принципы наиболее ярко выражаются в свойствах инвариантности законов природы. Речь при этом идет не только о физических законах, но и других, например, биологических.
Говоря о роли симметрии в процессе научного познания, следует особо выделить применение метода аналогий. По словам французского математика Д. Пойа, "не существует, возможно, открытий ни в элементарной, ни в высшей математике, ни, пожалуй, в любой другой области, которые могли быть сделаны без аналогий".В основе большинства этих аналогий лежат общие корни, общие закономерности, которые проявляются одинаковым образом на разных уровнях иерархии.
Итак, в современном понимании симметрия - это общенаучная философская категория, характеризующая структуру организации систем. Важнейшим свойством симметрии является сохранение (инвариантность) тех или иных признаков (геометрических, физических, биологических и т. д.) по отношению к вполне определенным преобразованиям. Математическим аппаратом изучения симметрии сегодня является теория групп и теория инвариантов.
Симметрия в мире растений
Специфика строения растений определяется особенностями среды обитания, к которой они приспосабливаются. У любого дерева есть основание и вершина, "верх" и "низ", выполняющие разные функции. Значимость различия верхней и нижней частей, а также направление силы тяжести определяют вертикальную ориентацию поворотной оси "древесного конуса" и плоскостей симметрии. Дерево при помощи корневой системы поглощает влагу и питательные вещества из почвы, то есть снизу, а остальные жизненно важные функции выполняются кроной, т. е, наверху. В то же время направления в плоскости, перпендикулярной к вертикали, для дерева фактически неразличимы; по всем этим направлениям к дереву в равной мере поступает воздух, свет, влага.
Дерево имеет вертикальную поворотную ось (ось конуса) и вертикальные плоскости симметрии.
Когда мы хотим нарисовать лист растения или бабочку, то нам приходится учитывать их осевую симметрию. Средняя жилка для листа служит осью симметрии. Ярко выраженной симметрией обладают листья, ветви, цветы, плоды. Для листьев характерна зеркальная симметрия. Эта же симметрия встречается и у цветов, однако у них зеркальная симметрия чаще выступает в сочетании с поворотной симметрией. Нередки случаи и переносной симметрии (веточки акации, рябины).
В многообразном мире цветов встречаются поворотные оси разных порядков. Однако наиболее распространена поворотная симметрия 5-го порядка. Эта симметрия встречается у многих полевых цветов (колокольчик, незабудка, герань, гвоздика, зверобой, лапчатка), у цветов плодовых деревьев (вишня, яблоня, груша, мандарин и др.), у цветов плодово-ягодных растений (земляника, малина, калина, черемуха, рябина, шиповник, боярышник) и др.
Этот факт академик Н. Белов объясняет тем, что ось 5-го порядка - своеобразный инструмент борьбы за существование, "страховка против окаменения, кристаллизации, первым шагом которой была бы их поимка решеткой". Действительно, живой организм не имеет кристаллического строения в том смысле, что даже отдельные его органы не обладают пространственной решеткой. Однако упорядоченные структуры в ней представлены очень широко.
В своей книге «Этот правый, левый мир» М. Гарднер пишет: «На Земле жизнь зародилась в сферически симметричных формах, а потом стала развиваться по двум главным линиям: образовался мир растений, обладающих симметрией конуса, и мир животных с билатеральной симметрией».
В природе существуют тела, обладающие винтовой симметрией, то есть совмещением со своим первоначальным положением после поворота на угол вокруг оси, дополнительным сдвигом вдоль той же оси.
Если - рациональное число, то поворотная ось оказывается также осью переноса.
Листья на стебле расположены не по прямой, а окружают ветку по спирали. Сумма всех предыдущих шагов спирали, начиная с вершины, равна величине последующего шага А+В=С, В+С=Д и т. д.
Винтовая симметрия наблюдается в расположении листьев на стеблях большинства растений. Располагаясь винтом по стеблю, листья как бы раскидываются во все стороны и не заслоняют друг друга от света, крайне необходимого для жизни растений. Это интересное, ботаническое явление носит название филлотаксиса (буквально «устроение листа»).
Другим проявлением филлотаксиса оказывается устройство соцветия подсолнечника или чешуи еловой шишки, в которой чешуйки располагаются в виде спиралей и винтовых линий. Такое расположение особенно четко видно у ананаса, имеющего более или менее шестиугольные ячейки, которые образуют ряды, идущие в различных направлениях.
Симметрия в мире животных
Значение формы симметрии для животного легко понять, если поставить её в связь с образом жизни, экологическими условиями. Под симметрией у животных понимают соответствие в размерах, форме и очертаниях, а также относительное расположение частей тела, находящихся на противоположных сторонах разделяющей линии.
Поворотная симметрия 5-го порядка встречается и в животном мире. Это симметрия, при которой объект совмещается сам с собой при повороте вокруг поворотной оси 5 раз. Примерами могут служить морская звезда и панцирь морского ежа. Вся кожа морских звёзд как бы инкрустирована мелкими пластинками из углекислого кальция, от некоторых пластинок отходят иглы, часть которых подвижна. Обычная морская звезда обладает 5 плоскостями симметрии и 1 осью вращения 5-ого порядка (это самая высокая симметрия среди животных). Ее предки, по-видимому, имели более низкую симметрию. Об этом свидетельствует, в частности, строение личинок звезды: они, как и большинство живых существ, в том числе человек, обладают лишь одной плоскостью симметрии. Морские звезды не имеют горизонтальной плоскости симметрии: у них есть «верх» и «низ». Морские ежи похожи на живые подушечки для булавок; шаровидное тело их несёт длинные и подвижные иголки. У этих животных известковые пластинки кожи слились и образовали сферическую раковину панцирь. В центре нижней поверхности имеется рот. Амбулакральные ножки (воднососудистая система) собраны в 5 полос на поверхности раковины.
Однако в отличие от мира растений поворотная симметрия в животном мире наблюдается редко.
Для насекомых, рыб, яиц, животных характерно несовместимое с поворотной симметрией различие между направлениями «вперед» и «назад».
Направление движения является принципиально выделенным направлением, относительно которого нет симметрии у любого насекомого, любой птицы или рыбы, любого животного. В этом направлении животное устремляется за пищей, в этом же направлении оно спасается от преследователей.
Кроме направления движения симметрию живых существ определяет еще одно направление - направление силы тяжести. Оба направления существенны; они задают плоскость симметрии животного существа.
Билатеральная (зеркальная) симметрия - характерная симметрия всех представителей животного мира. Эта симметрия хорошо видна у бабочки. Симметрия левого и правого крыла проявляются здесь с почти математической строгостью.
Можно сказать, что каждое животное (а также насекомое, рыба, птица) состоит из двух энантиоморфов - правой и левой половин. Энантиоморфами являются также парные детали, одна из которых попадает в правую, а другая в левую половину тела животного. Так, энантиоморфами являются правое и левое ухо, правый и левый глаз, правый и левый рог и т. д.
Упрощение условий жизни может привести к нарушению двусторонней симметрии, и животные из двусторонне-симметричных становятся радиально-симметричными. Это относится к иглокожим (морские звёзды, морские ежи, морские лилии). Все морские животные имеют радиальную симметрию, при которой части тела отходят по радиусам от центральной оси, подобно спицам колеса. Степень активности животных коррелирует с их типом симметрии. Радиально симметричные иглокожие обычно мало подвижны, перемещаются медленно или же прикреплены к морскому дну. Тело морской звезды состоит из центрального диска и 5-20 или большего числа радиально отходящих от него лучей. На математическом языке эту симметрию называют поворотной симметрией.
Отметим, наконец, зеркальную симметрию человеческого тела (речь идет о внешнем облике и строении скелета). Эта симметрия всегда являлась и является основным источником нашего эстетического восхищения хорошо сложенным человеческим телом. Не станем пока разбираться, существует ли на самом деле абсолютно симметричный человек. У каждого, разумеется, обнаружится родинка, прядь волос или какая-нибудь другая деталь, нарушающая внешнюю симметрию. Левый глаз никогда не бывает в точности таким, как правый, да и уголки рта находятся на разной высоте, во всяком случае, у большинства людей. И все же это лишь мелкие несоответствия. Никто не усомнится, что внешне человек построен симметрично: левой руке всегда соответствует правая и обе руки совершенно одинаковы.
Каждому известно, что сходство между нашими руками, ушами, глазами и другими частями тела такое же, как между предметом и его отражением в зеркале. Именно вопросам симметрии и зеркального отражения здесь и уделяется внимание.
Многие художники обращали пристальное внимание на симметрию и пропорции человеческого тела, во всяком случае, до тех пор, пока ими руководило желание в своих произведениях как можно точнее следовать природе.
В современных школах живописи в качестве единой меры чаще всего принимается размер головы по вертикали. С известным допущением можно считать, что длина туловища превосходит размер головы в восемь раз. Размеру головы пропорциональна не только длина туловища, но и размеры других частей тела. По этому принципу построены все люди, оттого-то мы, в общем, похожи друг на друга. Однако наши пропорции согласуются лишь приблизительно, а потому люди лишь похожи, но не одинаковы. Во всяком случае, все мы симметричны! К тому же некоторые художники в своих произведениях особенно подчеркивают эту симметрию.
Наша собственная зеркальная симметрия очень удобна для нас, она позволяет нам двигаться прямолинейно и с одинаковой лёгкостью поворачиваться вправо и влево. Столь же удобна зеркальная симметрия для птиц, рыб и других активно движущихся существ.
Двусторонняя симметрия означает, что одна сторона тела животного представляет собой зеркальное отражение другой стороны. Такой тип организации характерен для большинства беспозвоночных, в особенности для кольчатых червей и для членистоногих – ракообразных, паукообразных, насекомых, бабочек; для позвоночных – рыб, птиц, млекопитающих. Впервые двусторонняя симметрия появляется у плоских червей, у которых передний и задний концы тела различаются между собой.
Рассмотрим ещё один тип симметрии, который встречается в животном мире. Это винтовая или спиральная симметрия. Винтовая симметрия есть симметрия относительно комбинации двух преобразований - поворота и переноса вдоль оси поворота, т. е. идёт перемещение вдоль оси винта и вокруг оси винта.
Примерами природных винтов являются: бивень нарвала (небольшого китообразного, обитающего в северных морях) – левый винт; раковина улитки – правый винт; рога памирского барана – энантиоморфы (один рог закручен по левой, а другой по правой спирали). Спиральная симметрия не бывает идеальной, например, раковина у моллюсков сужается или расширяется на конце. Хотя внешняя спиральная симметрия у многоклеточных животных встречается редко, зато спиральную структуру имеют многие важные молекулы, из которых построены живые организмы – белки, дезоксирибонуклеиновые кислоты - ДНК.
Симметрия в неживой природе
Симметрия кристаллов - свойство кристаллов совмещаться с собой в различных положениях путём поворотов, отражений, параллельных переносов либо части или комбинации этих операций. Симметрия внешней формы (огранки) кристалла определяется симметрией его атомного строения, которая обусловливает также и симметрию физических свойств кристалла.
Рассмотрим внимательно многогранные формы кристаллов. Прежде всего, видно, что кристаллы разных веществ отличаются друг от друга по своим формам. Каменная соль - это всегда кубики; горный хрусталь - всегда шестигранные призмы, иногда с головками в виде трехгранных или шестигранных пирамид; алмаз - чаще всего правильные восьмигранники (октаэдры); лед - шестигранные призмочки, очень похожие на горный хрусталь, а снежинки - всегда шестилучевые звездочки. Что бросается в глаза, когда смотришь на кристаллы? Прежде всего, их симметрия.
Многие думают, что кристаллы - это красивые, редко встречающиеся камни. Они бывают разных цветов, обычно прозрачные и, что самое замечательное, обладают красивой правильной формой. Чаще всего кристаллы представляют собой многогранники, стороны (грани) их идеально плоские, рёбра строго прямые. Они радуют глаз чудесной игрой света в гранях, удивительной правильностью строения.
Однако кристаллы - совсем не музейная редкость. Кристаллы окружают нас повсюду. Твёрдые тела, из которых мы строем дома и станки, вещества, которые мы употребляем в быту, - почти все они относятся к кристаллам. Почему же мы этого не видим? Дело в том, что в природе редко попадаются тела в виде отдельных одиночных кристаллов (или как говорят монокристаллов). Чаще всего вещество встречается в виде прочно сцепившихся кристаллических зёрнышек уже совсем малого размера - меньше тысячной доли миллиметра. Такую структуру можно увидеть лишь в микроскоп.
Тела, состоящие из кристаллических зёрнышек, называются мелкокристаллическими, или поликристаллическими ("поли" - по-гречески "много").
Конечно, к кристаллам надо отнести и мелкокристаллические тела. Тогда окажется, что почти все окружающие нас твёрдые тела - кристаллы. Песок и гранит, медь и железо, краски - всё это кристаллы.
Есть и исключения; стекло и пластмассы не состоят из кристалликов. Такие твёрдые тела называются аморфными.
Изучать кристаллы - это значит изучать почти все окружающие нас тела. Понятно, как это важно.
Одиночные кристаллы сразу же узнают по правильности форм. Плоские грани и прямые рёбра являются характерным свойством кристалла; правильность формы несомненно связана с правильностью внутреннего строения кристалла. Если кристалл в каком-то направлении особо вытянулся, значит, и строение кристалла в этом направлении какое-то особенное.
Есть центр симметрии и в кубике каменной соли, и в восьмиграннике алмаза, и в звёздочке снежинки. А вот в кристаллике кварца центра симметрии нет.
Наиболее точная симметрия осуществляется в мире кристаллов, но и здесь она неидеальная: невидимые глазом трещинки, царапины всегда делают равные грани слегка отличными друг от друга.
Все кристаллы симметричны. Это значит, что в каждом кристаллическом многограннике можно найти плоскости симметрии, оси симметрии, центр симметрии или другие элементы симметрии так, чтобы совместились, друг с другом одинаковые части многогранника.
Все элементы симметрии повторяют одинаковые части фигуры, все придают ей симметричную красоту и завершенность, но центр симметрии, - самый интересный. От того, есть ли в кристалле центр симметрии или нет его, могут зависеть не только форма, но и очень многие физические свойства кристалла.
Соты - настоящий конструкторский шедевр. Они состоят из ряда шестигранных ячеек. Это самая плотная упаковка, позволяющая наивыгоднейшим образом разместить в ячейке личинку и при максимально возможном объеме наиболее экономно использовать строительный материал-воск.
III Заключение
Симметрия пронизывает буквально все вокруг, захватывая, казалось бы, совершенно неожиданные области и объекты Она, проявляясь в самых различных объектах материального мира, несомненно, отражает наиболее общие, наиболее фундаментальные его свойства. Принципы симметрии играют важную роль в физике и математике, химии и биологии, технике и архитектуре, живописи и скульптуре, поэзии и музыке.
Мы видим, что природа проектирует любой живой организм согласно определенной геометрической схеме, причем законы мироздания имеют четкое обоснование. Поэтому исследование симметрии разнообразных природных объектов и сопоставление его результатов является удобным и надежным инструментом познания основных закономерностей существования материи.
Законы природы, управляющие неисчерпаемой в своём многообразии картиной явлений, в свою очередь, подчиняются принципам симметрии. Существует множество видов симметрии, как в растительном, так и в животном мире, но при всем многообразии живых организмов, принцип симметрии действует всегда, и этот факт еще раз подчеркивает гармоничность нашего мира. Симметрия лежит в основе вещей и явлений, выражая нечто общее, свойственное разным объектам, тогда как асимметрия связана с индивидуальным воплощением этого общего в конкретном объекте.
Итак, на плоскости мы имеем четыре вида движений, переводящих фигуру F в равную фигуру F1:
1) параллельный перенос;
2) осевая симметрия (отражение от прямой);
3) поворот вокруг точки (Частичный случай – центральная симметрия);
4) «скользящее» отражение.
В пространстве к вышеперечисленным видам симметрии добавляется зеркальная.
Считаю, что цель, поставленная в реферате, достигнута. При написании реферата наибольшей сложностью для меня стали собственные выводы. Думаю, что моя работа поможет школьникам расширить представление о симметрии. Надеюсь, что мой реферат войдет в методический фонд кабинета математики.
Районная научно-исследовательская конференция «Юниор»
Исследовательская работа
Симметрия в окружающем мире
(секция точных наук)
Выполнила: Меризанова Анна,
ученица 8 класса,
Елисеенко Вера,
ученица 8 класса
Руководитель: Колесникова
Людмила Александровна,
учитель математики
Введение
В этом учебном году рассматривали данную тему на уроках математики. Нас заинтересовала тема «Симметрия». И мы решили создать проект по этой теме, т.к. в учебнике по геометрии мало уделено внимания на изучение темы «Симметрия», при этом ученики часто задают вопрос: зачем она нужна, где она встречается, зачем её вообще изучают.
А ведь симметрия встречается в природе, и в науке, и в искусстве – во всем обнаруживается единство и противоборство симметрии.
Симметрия, свойственна разным явлениям, лежащим в основе всех вещей, она описывает многие явления жизни и многих наук
В результате работы перед собой мы поставили вопросы:
Для чего надо знать симметрию, где в окружающем мире она встречается?
Мы поставили перед собой цель:
сформироватьпредставлений о симметрии, черезсистематизацию знаний о симметрии, а также через анализ явлений природы, человеческой деятельности.
Для раскрытия темы нашей исследовательской работы были поставлены следующие задачи:
Научиться распознавать симметричные фигуры среди других.
Познакомиться с использованием симметрии в природе, быту, искусстве, технике.
Продемонстрировать разнообразное применение математики в реальной жизни.
Осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им с точки зрения дальнейшей перспективы (показать возможности применения полученных знаний в своей будущей профессии художника, архитектора, биолога, инженера-строителя).
Для написание работы мной были использованы различные методы:
изучение и анализ научной литературы;
метод индуктивного обобщения, конкретизации;
использование компьютерного инвентаря.
Глава 1. Первые представления о симметрии
В данной главе нами описаны первые представления о симметрии, исторические сведения по данной теме; приведены некоторые примеры симметричных фигур; рассмотрены примеры исследовательского характера по теме:: «Симметрия».
Историческое развитие и осмысление понятия симметрии
В процессе исторического развития и осмысления симметрии особый этап симметрии как меры красоты и гармонии связани с работой выдающегося математика Германа Вейля «Симметрия» (1952). Г. Вейль под симметрией понимал неизмеримость (инвариантность) какого-либо объекта при преобразованиях: предмет является симметричным в том случае, когда его подвергнуть какой-нибудь операции, после которой он будет выглядеть так же, как и до преобразования.
Греческое слово «симметрия» означает «соразмерность», «пропорциональность», «одинаковость в расположении частей». Однако часто под словом «симметрия» понимают более широкое понятие: регулярность смены каких-либо явлений (времен года, дня и ночи и т.д.), уравновешенность левого и правого, равноправие природных явлений. Фактически мы имеем дело с симметрией везде, где наблюдается какая-либо упорядоченность. В психологии и морали широко использовалось понятие симметрии. Так, великий Аристотель считал, что симметрия имеет смысл некой средней меры, к которой должен стремиться в своих действиях добродетельной человек. Римский врач Гален (2в. н.э.) под симметрией понимал состояние духа, одинаково удаленное от обеих крайностей, например от горя и радости, апатии и возбуждения. Симметрия, понимаемая как покой, уравновешенность, противостоит хаосу и беспорядку. Об этом говорит гравюра Мариуса Эшера «Порядок и Хаос» (рис. 196), где, как писал сам художник, «звездчатый додекаэдр, символ красоты и порядка, окружен прозрачной сферой. В ней отражена бессмысленная коллекция бесполезных вещей».
Математическое представление о симметрии
Представления о симметрии, изложенные выше, носят общий характер и для математики не являются точными и строгими.
Определение 1. Симметрия – это соразмерность, одинаковость в расположении частей чего-нибудь по противоположным сторонам от точки, прямой или плоскости.
Математическое строгое определение симметрии сформировалось сравнительно недавно – в 19 в., когда были введены понятия зеркальной и поворотной симметрии.
Розетки, снежинки – это симметричные и очень красивые фигуры.
В планиметрии существует осевая (симметрия относительно прямой), центральная симметрии (симметрия относительна точки), а также поворотная, зеркальная, переносная.
Определение 2. Две точки A и A 1 называются симметричными относительно прямой а , если эта прямая проходит через середину отрезка АА 1 и перпендикулярна к нему.
Каждая точка прямой а
Определение 2 . Фигура называется симметричной относительно прямой а , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии фигуры. Говорят, фигура обладает осевой симметрией . Фигуры, которые имеют ось симметрии: прямоугольник, ромб, квадрат, равносторонний треугольник, равнобедренный треугольник, круг и т. д.
О
пределение
3.
Две точки А и А 1
называются симметричными
относительно точки О
, если
О – середина отрезка АА 1
. Точка О
считается симметричной самой себе.
Определение 4. Фигура называется симметричной относительно точки О , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О , называется центром симметрии фигуры . Говорят, фигура обладает центральной симметрией . Примеры фигур, которые обладают центральной симметрией: круг, параллелограмм, треугольник и т. д.
Математика изучает немало фигур, которые обладают и осевой, и центральной симметрией (круг, квадрат и др.), только осевой симметрией (например, равнобедренный треугольник), только центральной симметрией (например, параллелограмм общего вида).
Чтобы разобраться в данной теме мы произвели ряд исследовательских заданий.
Исследовательские задания.
Задание 1. На прямой АВ найдите точку, сумма расстояний от которой до двух данных точек М и N была бы наименьшей.
Обсуждение.
1 случай.
Пусть
М
и N
лежат по разные стороны
от
,
кратчайшее расстояние между ними есть
,
следовательно, искомая точка Х лежит
на пересечении
и
.
В
сякая
другая точка
прямой АВ
не
обладает этим свойством, так как
.
2 случай . М и N лежат по одну сторону Строим М 1 , симметричную М относительно , после чего задача сводится к случаю 1. если
То искомая точка Х есть точка пересечения прямых М N и AB .
Задание 2. Даны прямые АВ и точки М и N . Найдите на такую точку, чтобы разность (по модулю её расстояния от точек М и N была наибольшей.
О
бсуждение.
1 случай.
Точки М
и N
лежат по одну сторону от
прямой АВ (и притом на разных расстояниях
от неё. Тогда точка Х прямой АВ, для
которой разность расстояний от точек
М
и N
наибольшая, есть точка
пересечения прямой АВ с продолжением
отрезка MN.
Тогда
всякая другая точка Х 1
прямой АВ не обладает этим свойством,
так как
(следствие аксиомы треугольника). Если
М
и N
находится на одинаковом
расстоянии от
,
задача не имеет решения.
2
случай.
Точки М
и N
лежат по разные стороны
от
.
Тогда искомая точка
,
где
.
Если точки М и N находятся по разные стороны от и на одинаковом от неё расстоянии, то задача не имеет решений.
Задание 3 . Исследовать имеют ли центр симметрии: 1) отрезок; 2) луч; 3) квадрат.
Обсуждение. 1) да; 2)нет; 3 да
Задание 4. Исследовать какие из следующих точек латинского алфавита имеют центр симметрии: А, О, M, Х.
Обсуждение. О и Х
Обсуждение. 1) две; 2) «бесконечное множество»: любая прямая, перпендикулярная к данной, а также сама прямая; 3) одну.
Задание 6. Исследовать какие из следующих букв имеют ось симметрии: А, Б, г, Е, О в алфавите.
Обсуждение. А, Е, О
Вывод: Данные примеры нам показывают, что даже точки стоящие в алфавите имеют симметричное положение. Ось симметрии имеют различные геометрические фигуры.
Симметрия древнерусского орнамента
Д
ля
русского орнамента характерны как
растительные и геометрические формы,
так и изображения птиц, зверей и
фантастических животных.
Особенно ярко русский орнамент выражен
в резьбе по дереву и вышивке. Наиболее
часто использовались так называемые
плетенки – переплетения лент, ремней,
стеблей цветов. В 17 в. зодчий Степан
Иванов создал свой
знаменитый орнамент «Павлинье око».
По мнению академика Б. А. Рыбакова, известного археолога и историка с мировым именем, в основу древнерусского орнамента вошли универсальные различные представления о мире. Сознание древнего славянина было обусловлено мифологическими восприятиями действительности. Всё это отражалось в мотивах, характерных для русского орнамента.
Мотив плетёнки , характерный для русальских браслетов, который Б. А. Рыбаков трактовали как знак воды и царства подземного владыки Переплута.
Мотив древней богини Мокоши как специфического воплощения представления о Великой Праматери, общего для всех народов на определённой стадии исторического существования. Мокоша (Макошь) – единственный женский образ в древнерусской мифологии. Её имя наводит на мысль о мокроте, влаге, воде. Мокошь покровительствовала всем женским занятиям, особенно прядению, и почитали её преимущественно женщины.
Мотив дерева жизни.
К числу традиционных узоров на протяжении столетий использовавшихся в русском декоративно-прикладном искусстве, относится узор, изображавший дерево жизни с симметрично расположенными на нём или около него птицами.
Древнерусский орнамент сочетал в себе воду, дождь, солнце и растительный мир в его надземной и подземной (корневой) части.
Водная стихия представлялась рядами точек и чёрточек, воспроизводящих дождевые капли, а также зигзагообразными линиями, что служит примером переносной симметрии.
Земля была представлена
прямоугольником, разделённым диагоналями
на четыре части с повторяющимися в них
рисунком. Для такой конфигурации
характерна осевая симметрия в сочетании
с центральной. Эти виды симметрии
преобладают в изображении растительного
мира.
В русском орнаменте с древних времён сложилась особая система расположения символов, представляемых движение Солнца вокруг Земли. Встречается несколько типов солнечных знаков, для них характерна поворотная симметрия. Наиболее распространён круг, разделённый радиусами на разные секторы («Колесо Юпитера»), а также круг с крестом внутри.
Вывод: проанализировав литературу по данному вопросу мы пришли к выводу, что в древнерусском орнаменте часто встречаются симметричные символы. В традиционных национальных украшениях и предметах быта можно встретить все виды симметрии на плоскости: центральную, осевую, поворотную, переносную.
1.4. Симметрия сквозь века
В
своих размышлениях над картиной мира
человек с давних пор активно использовал
идею симметрии. По преданию, термин
«симметрия» придумал скульптор Пифагор
Регийский, живший в г. Регул. Отклонение
от симметрии он определил термином
«асимметрия». Древние греки полагали,
что Вселенная симметрична просто потому,
что она прекрасна. Считая сферу наиболее
симметричной и совершенной формой, они
делали вывод о сферичности Земли и ее
движения по сфере вокруг некоего
«центрального огня», где двигались
также 6 известных тогда планет вместе
с луной, Солнцем, звездами.
Представители первой научной школы в истории человечества, последователи Пифагора Самооского, пытались связать симметрию с числом.
Широко используя идею гармонии и симметрии, ученые древности любили обращаться не только к сферическим формам, но и к правильным многогранникам, для построения которых они использовали «золотое отношение». У правильных многогранников грани – правильные многоугольники одного вида, а углы между гранями равны. Древние греки установили поразительный факт: существует всего пять правильных выпуклых многогранников, названия которых связаны с числом граней, - тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб, додекаэдр.
Глава 2. Симметрия вокруг нас
В данной главе описана теория в которой указывается различные представления симметрии в природе, в этой главе мы доказываем, что строения, созданные человеком также имеют симметричные фигуры.
2.1. Роль симметрии в познании природы
Симметрия кристаллов является следствием их внутреннего строения: их атомы и молекулы имеют упорядоченное взаимное расположение, образуя симметричную решетку из атомов – так называемую кристаллическую решетку.
Недостающие элементы симметрии определил академик Аксель Вильгельмович Гадолин (1828-1892). Известный профессор минералогии из немецкого города Марбурга Иоганн Гессель в 1830г. Опубликовал свой труд о симметрии кристаллов. Его труд по некоторым причинам остался незамеченным. Но в 1897г. Работу Гесселя переиздали, и с тех пор его имя вошло в историю науки.
И
так,
симметрию кристаллов научились изучать
и сравнивать. Существуют 9
элементов симметрии и только 32 различных
набора элементов симметрии – групп
симметрии, которые и определяют внешнюю
форму кристаллов. Но коль скоро число
элементов симметрии кристаллов, конечно,
то конечно число их наборов – комбинации,
описывающих симметрию внешней формы.
Отсюда следует, что симметрия – строгий
и всеобъемлющий закон, управляющий
царством кристаллов. Она задаёт форму
кристалла, число его граней и ребер, она
же диктует и его внутреннее строение.
Симметрию можно обнаружить у обитателей моря, например у морской звезды, морского ежа и некоторых медуз.
Я
рко
выраженной симметрией обладают листья,
ветви, цветы и плоды растений.
Для некоторых из них характерна только
зеркальная симметрия, или только
поворотная симметрия, скользящая.
Интересно, что среди растений одного вида существуют такие, у которых встречается как левая структура листьев, так и правая.
Живая природа характеризуется не только известными видами симметрии. Так, изогнутый стебель растения, закрученная форма моллюска не менее симметричны, чем кристалл. Но это другая симметрия – криволинейная, которая была обнаружена в 1926г.
А в 1960г. Академик А.В. Шубников ввел в рассмотрение симметрию подобия. Подобными фигурами считаются одной и той же формы. Симметрия подобия состоит из переноса (поворота) фигуры с одновременным уменьшением или увеличением ее размеров.
Симметрия в архитектурных сооружениях
Симметрия господствует не только в природе, но и в творчестве человека. Прекрасные образцы симметрии демонстрируют произведения архитектуры. Интересны древнерусские постройки, в частности деревянные церкви. Стройные и выразительные, рубленные восьмериком, т.е. с симметричными восьмигранными шатрами, они как нельзя лучше соответствовали понятию красоты в средневековой Руси.
Примером может служить храм Василия Блаженного на Красной площади в Москве. Храм состоит из десяти различных храмов, каждый из которых строго симметричен, но в целом он не обладает ни зеркальной, ни поворотной симметрией.
М
ожно
привести много примеров использования
симметрии и асимметрии в
скульптуре. Например, скульптура
пелопонесского мастера из школы Пифагора
«Дельфийский возничий», которая
изображает победителя на состязаниях
конных колесниц. Фигура юноши в длинном
хитоне в целом симметрична, но легкий
поворот торса и головы нарушает зеркальную
симметрию, что порождает иллюзию
движения, и статуя кажется живой.
Луи Пастер считал, что именно асимметрия отличает живое от неживого, полагая, что симметрия – страж покоя, а асимметрия – двигатель жизни. Пример того, что парадокс симметрии служит не только для передачи движения, но и для усиления впечатления, - это изображение греческой вазы из пещеры Камарес на острове Крит.
Заключение
Симметрия – это нечто общее, свойственное разным явлениям, лежащее в основе всех вещей, а асимметрия выражает некие индивидуальные особенности вещей и явлений. И в природе, и в науке, и в искусстве – во всем обнаруживается единство и противоборство симметрии и асимметрии. Мир существует благодаря единству этих двух противоположностей.
Проанализировав работу, мы пришли к выводу, что симметрия часто встречается в искусстве, архитектуре, технике, быту. Так, фасады многих зданий обладают осевой симметрией. В большинстве случаев симметричны относительно оси или центра узоры на коврах, тканях, комнатных обоях. Симметричны многие детали механизмов, например зубчатые колёса.
В результате реализации проекта:
расширили знания о симметрии;
узнали, какие явления из жизни и
некоторых наук описывает симметрия;
новые практические приемы : работа с учебной, научно-познавательной литературой;
обобщили понятия, представления, знания, на получение которых нацелен результат проекта : рассмотрели, где в жизни встречается симметрия.
Библиографический список
Афанасьев А.Н, Мифология Древней Руси. – М.: Эксмо, 2006.
Вейль Г. Симметрия. – Изд. 2-е, стер. – М.: Единториал УРСС, 2003.
Гнеденго Б.В. Очерки по истории математики в России. – 2-е изд., испр. и дополн. – М.: КомКнига, 2005.
Изобразительные мотивы в русской народной вышивке. Музей народного искусства. – М.: Советская Россия,1990.
Климова Н. Т. Народный орнамент в композиции художественных изделий. – м.: Изобразительное искусство,1993.
Класс: 8
Презентация к уроку
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цель урока: обучить строить осевую симметрию геометрических фигур.
Задачи:
- Образовательная:
- рассмотреть симметричных точек и фигур относительно прямой;
- научить строить симметричные точки и распознавать фигуры, обладающие осевой симметрией;
- рассмотреть осевую симметрию как свойство некоторых геометрических фигур.
- получить представление о симметрии в математике и окружающем нас мире.
- развивать логическое мышление;
- активизировать мыслительную деятельность с помощью применения информационных технологий
Формы организации учебной деятельности: общеклассная, индивидуальная, парная.
Тип урока: Изучение и первичное закрепление новых знаний.
План урока:
- симметрия точки относительно прямой;
- построение осевой симметрии точки на плоскости;
- симметрия фигуры относительно прямой;
- построение осевой симметрии геометрических фигур;
- применение полученных знаний при решении задач.
Оборудование: проектор; экран; двусторонняя доска (мел, маркер); угольник; раздаточный материал; указка учителя; цветные карандаши; линейки.
Ход урока
I . Организация начала урока
Слайд.
Здравствуйте ребята, садитесь.
Сегодня на уроке мы будем выполнять много творческих и занимательных заданий. Итак, внимание на экран!
II. Сообщение темы, цели и задач урока
Тема нашего урока «Симметрия в математике и окружающем нас мире».
Сегодня на уроке мы познакомимся с понятием симметрии, научимся строить точки симметричные относительно прямой; будем решать задачи на построение симметрии геометрических фигур.
При выполнении заданий мы будем оценивать работу. По моему указанию за каждое верно выполненное задание вы закрасите один из кружков, находящихся в верхней части Листа 1 (приложение).
III. Усвоение новых знаний
Слайд.
Начнем с того, что выясним, что определим термин «симметрия».
Как вы думаете, что означает слово «симметрия»?
Где мы можем встретиться с симметрией в жизни?
Обобщу ваши ответы. Симметрия (от греч. Symmetria – соразмерность), в широком смысле – неизменность структуры материального объекта относительно его преобразований.
Симметрия играет огромную роль в искусстве и архитектуре. Но ее можно заметить и в музыке, и в поэзии.
Симметрия широко встречается в природе, в особенности у кристаллов, у растений и животных. Симметрия может встретиться не только в геометрии, но и в других разделах математики, например в алгебре - при построении графиков функций.
Симметрия бывает двух видов: осевая и центральная. Заполним схему в раздаточном материале Листа 1.
Мы сегодня рассмотрим только осевую симметрию.
Найдите предложение, в котором говорится, какие две точки называются симметричными.
ОПР: Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярно к нему.
Проанализируем определение. Какие условия должны выполняться, что бы можно было однозначно сказать, что точка А симметрична точке А1 относительно прямой а? ( АА 1 ⊥ а и АО=ОА 1)
Запишем более языком геометрии в скобках условие симметричности точек А и А 1 .
Научимся строить вместе точку симметричную данной относительно прямой. Для этого найдем в раздаточном материале Задание 1 . Возьмем в руки угольник и карандаш. (учитель строит на доске)
Этапы решения задачи: (на экране)
- Построить перпендикуляр из точки А к прямой а;
- О – точка пересечения перпендикуляра и прямой а;
- Продлить перпендикуляр за прямую а;
- Отложить на продолжении перпендикуляра отрезок равный отрезку ОА;
- АО=ОА 1
- Точки А и А 1 – симметричны относительно прямой а.
Выполним устно задание: Какие точки на рисунках являются симметричными?
Ответ: Только рисунок 2.
Кто готов объяснить?
Кто согласен с ответом поднимите руки? Закрась один кружок в верхней части Листа 1 .
Осевой симметрией обладают и многие фигуры.
ОПР: Фигура называется симметричной относительно прямой a , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре.
VI I. Закрепление знаний
Рассмотрим геометрические фигуры и определим, имеют или не имеют они осевую симметрию.
Работаем с заданием 2 Лист2 .
- Задача2: На изображенных геометрических фигурах начертить все оси симметрии и записать, сколько их в столбце «Количество осей».
Вы можете посоветоваться соседом по парте.
Фигура |
Количество осей симметрии |
Учебная деятельность |
Неразвернутый угол |
1 ось симметрии - |
Ученик у доски
|
Равнобедренный треугольник |
1 ось симметрии - биссектриса, медиана, высота |
Учитель:
|
4 оси симметрии |
Самостоятельно
|
|
Окружность |
осей симметрии бесконечное множество |
Самостоятельно
|
Итак, проверим решение задачи по экрану, исправим неточности при решении задачи.
Поднимите руки, кто начертил все оси квадрата? Закрасили один кружок.
Поднимите руки кто, верно, определил оси окружности? Закрасили один кружок.
Как вы думаете, все ли геометрические фигуры имеют оси симметрии? Верно, не все. Давайте посмотрим на экран.
Отложили ручки, устно решим задачу : Сколько осей имеет: отрезок; прямая; луч?
Давайте рассуждать. Каждый случай разбираем последовательно.
Кто готов ответить?
Кто согласен подняли руки. Закрась один из кружков.
Гимнастика для глаз 1 мин.
- Наши глаза устали от напряженной работы. Дадим им возможность немного отдохнуть, выполнив несколько упражнений для глаз.
VIII. Обобщение и систематизация
А теперь решим две практические задачи, используя лист «материалы к уроку».
Задача 3: Построить отрезок, симметричный данному.
Проанализируем условие задачи: Как построить отрезок симметричный данному относительно прямой?
Что такое отрезок? (Часть прямой, ограниченная с двух сторон. )
Что достаточно построить для решения задачи? (Симметрию точек, являющихся концами отрезка. )
Вывод: Так как отрезок ограничен двумя точками, достаточно построить точки симметричные точкам А и В относительно прямой с и соединить их.
Работаем самостоятельно, один человек у доски.
X. Подведение итогов урока
С каким понятием мы познакомились сегодня на уроке? (Симметрия. )
Какой вид симметрии мы рассмотрели? (Осевая. )
Чему вы научились на уроке? (Строить точку симметричную относительно данной прямой; строить ось симметрии геометрических фигур; строить фигуру симметричную данной относительно данной прямой. )
А теперь каждый посчитайте закрашенные кружки.
Поднимите руки у кого закрашенных кружков оказалось ровно 4 или 5? Поставьте рядом с кружками отметку «5».
Поднимите руки у кого закрашенных кружков оказалось ровно 3? Поставьте рядом с кружками отметку «4».
Кто получил меньше кружков не расстраивайтесь – вы просто не сразу смогли найти ответ на поставленный вопрос.
В заключение отметить, что симметрию можно обнаружить почти везде, если знать, как ее искать. Многие народы с древнейших времен владели представлением о симметрии в широком смысле – как об уравновешенности и гармонии. Творчество людей во всех своих проявлениях тяготеет к симметрии. Посредством симметрии человек всегда пытался, по словам немецкого математика Германа Вейля, «постичь и создать порядок, красоту и совершенство».
Спасибо за активную работу.