Степень с рациональным показателем. Степень с рациональным показателем III. Закрепление нового материала

Разработка урока математики в 11 классе.

Тема урока : «Степень с рациональным показателем».

Цели урока :

Образовательные :

ввести понятие степень с рациональным показателем;
первичное закрепление полученных знаний на простейших заданиях.

Воспитательные: воспитание нравственных черт личности:

целеустремлённости;
настойчивости в достижении поставленной цели;
самостоятельности, внимательности;

Воспитание умения работать в коллективе.

Развивающие : развитие навыков

математической речи;
работы самостоятельно и в паре;
осуществления взаимоконтроля и самоконтроля.

Тип урока : Урок изучения нового материала.

Оборудование : дидактический материал (карточки с определенным цветовым сигналом).

План урока.

1.Организационный этап. (8мин.)

2. Основной этап. (30мин.)

3. Подведение итогов. (2мин.)

Организационный этап

Цель: Создать благоприятную обстановку для работы в классе, подготовить учащихся к предстоящей работе, сообщить тему, цель и план работы.

Метод : словесный.

Деятельность учителя

Деятельность ученика

Здравствуйте, ребята. Кто отсутствует?

Вам знакомо понятие «степени числа с целым показателем»?

Для каких а и n оно определено?

Перечислите свойства степени с целым показателем (учащиеся называют свойства, учитель записывает на доске, если не называют, то можно записать левую часть на доске, а ученики пусть называют правую, записанные свойства остаются на доске).

Выполним устно.

Упростить выражения:

В чем трудность упрощения последнего выражения?

Так вот. Сегодня у нас несколько необычный урок, сегодня каждый из вас побывает в роли учителя. Попробуйте сами сформулировать тему урока.

В чем заключается цель урока?

Приступим к изучению!

Выражение , где n – целое число.

Выражение определено для всех а и n, кроме случая а=0 при .

Ответы: х 2 ; х 7 ; х 12 ; а 2 в 8

(возникает вопрос при упрощении последнего выражения)

Показатель степени – дробное число. Нам знакомо только понятие «степень с целым показателем»

Степень с рациональным показателем и ее свойства.

Изучение понятия степени с рациональным показателем ее свойств.

Научиться их применять при решении задач

Основной этап

Цель: объяснение алгоритма работы по карточкам, введение понятия степень с рациональным показателем; первичное закрепление полученных знаний на простейших заданиях.

Метод: словесный.

Деятельность учителя

Деятельность ученика

Работать будем следующим образом.

Сейчас каждый из вас получит карточку с определенным цветовым сигналом. В каждой карточке содержится теория, это определение и свойства степени с рациональным показателем. Также, кроме теоретической части, есть практическая - задания для самостоятельного выполнения, и обязательная часть, которую вы должны выполнить. За выполнение дополнительных заданий вы можете получить дополнительную оценку.

После того как вы ознакомились с содержанием своей карточки, а также выполнили задание, вам необходимо, следуя по маршруту указанному на доске, отыскать партнёра по цветовому сигналу. Найдя его, вы объясняете друг другу по очереди теоретический материал своей карточки, отвечаете на вопросы, если такие возникают, затем обмениваетесь карточками и выполняете практическую часть полученной карточки. Затем, человек, от которого вы получили карточку, проверяет правильность выполнения задания, если есть ошибки, исправляет. Если трудностей не возникает, продолжаете двигаться по маршруту.

Если возникает такая ситуация, что вы уже выполнили задание своей карточки, а ваш партнер ещё нет, то вы приступаете к выполнению дополнительного задания. Если вам не досталось партнера, то работать можно в тройках. За урок вам необходимо пройти весь маршрут.

В течение 8 минут вы знакомитесь с материалом полученной карточки, выполняете задание, затем следуете по маршруту. В тетради записываете число и тему сегодняшнего урока «Степень с рациональным показателем», записываете теоретический материал полученной карточки, и решение практической части. Чтобы не запутаться записываете на полях цветовой сигнал. Оценка будет выставляться за правильность выполнения работы по всем карточкам.

У кого возникли вопросы по работе с карточками?

Если в ходе работы будут возникать вопросы, можно обращаться ко мне.

маршрут записан на доске )

Учащиеся знакомятся с правилом работы в группах.

Учащиеся получают набор карточек

Этап самостоятельной работы по карточкам (см. приложение)
Этап подведения итогов

Цель: подвести итоги урока.

Метод: словесный.

Деятельность учителя

Деятельность ученика

Заканчиваем работу. Насколько хорошо вы усвоили данный материал, проверим на следующем уроке. Сейчас сдайте тетради на проверку.

С каким новым понятием познакомились сегодня на уроке?

Выпишите на доске рядом со свойствами степени числа с целым показателем свойства степени с рациональным показателем.

Можно ли представить отрицательное число в виде степени с рациональным показателем?

После того как свойства выписаны:

Что можно сказать об этих свойствах? (учитель показывает на доску)

Рефлексия:

- Понравилось ли Вам быть учителем?

С какими трудностями Вы столкнулись?

Какие приятные ощущения Вы испытали?

Закончите фразу: «Я бы хотел похвалить себя за то, что…»

Домашняя работа:

Дома вам нужно выучить теоретический материал пункта 34. №430, 431 (а,в), 437 (а,в), 444

Спасибо всем за работу, урок окончен.

Степень с рациональным показателем.

Один из учеников выписывает свойства на доске.

Нет нельзя.

Учащиеся активно принимают участие в беседе

Приложение

Цель используемых карточек:

Введение понятия и свойств степени с рациональным показателем;

Первичное закрепление полученных знаний.

Цели заданий.

Первого задания: формирование умения представлять выражение в виде степени с рациональным показателем, используя определение степени с рациональным показателем.

Второго задания: формирование умения представлять выражение в виде корня из числа, используя определение степени с рациональным показателем.

Третьего задания: формирование умения находить числовые значения, раскладывать на множители, а также сравнивать числа, используя определение и свойства степени с рациональным показателем.

Красная карточка

Определение . Степенью числа с рациональным показателем ), называется число . Итак, по определению .

Пример 1.

где r,s-рациональные числа, , .

Пример 2.

Задание 1. Представьте

Задание 2. .

Задание 3. .

Дополнительные задания. Найдите значение выражения .

Синяя карточка

Определение . Степенью числа с рациональным показателем , где m-целое число, а n-натуральное (), называется число . Итак, по определению .

Пример 1.

Свойства степени с рациональным показателем, где r,s-рациональные числа, , .

Пример 2.

Задание 1. Представьте в виде степени с рациональным показателем.

Задание 2. Представьте в виде корня из числа .

Задание 3. Разложите на множители .

Дополнительные задания. Разложите на множители .

Зелёная карточка

Пример 1.

Свойства степени с рациональным показателем, где r,s-рациональные числа, , .

Пример 2.

Задание 1. Представьте в виде степени с рациональным показателем.

Задание 2. Представьте в виде корня из числа .

Задание 3. Найдите значение числового выражения .

Дополнительные задания. Найдите значение выражения .

Оранжевая карточка

Пример 1.

Свойства степени с рациональным показателем, где r,s-рациональные числа, ,

Замечание. При рациональная степень числа а не определяется.

Пример 2. Сравните числа .

Задание 1. Представьте в виде степени с рациональным показателем.

Задание 2. Представьте в виде корня из числа .

Задание 3. Сравните числа .

Дополнительные задания. Найдите значение выражения .

Степень с рациональным показателем

Хасянова Т.Г.,

преподаватель математики

Представленный материал будет полезен преподавателям математики при изучении темы «Степень с рациональным показателем».

Цель представленного материала: раскрытие моего опыта проведения занятия по теме «Степень с рациональным показателем» рабочей программы дисциплины «Математика».

Методика проведения занятия соответствует его типу - урок изучения и первичного закрепления новых знаний. Была проведена актуализация опорных знаний и умений на базе ранее полученного опыта; первичное запоминание, закрепление и применение новых сведений. Закрепление и применение нового материала проходило в виде решения апробированных мною задач различной сложности, дающие положительный результат усвоения темы.

В начале занятия мною были поставлены перед обучающимися следующие цели: образовательная, развивающая, воспитательная. На занятии мною применялись различные способы деятельности: фронтальная, индивидуальная, парная, самостоятельная, тестовая. Задания были дифференцированы и позволяли выявлять, на каждом этапе урока, степень усвоения знаний. Объем и сложность заданий соответствует возрастным особенностям учащихся. Из моего опыта – домашнее задание, аналогичное задачам, решенным в учебном кабинете, позволяет надежно закрепить полученные знания и умения. В конце урока была проведена рефлексия и оценены работы отдельных обучающихся.

Цели были достигнуты. Обучающиеся изучили понятие и свойства степени с рациональным показателем, научились использовать эти свойства при решении практических задач. За самостоятельную работу оценки объявляются на следующем уроке.

Считаю, что применяемая мною методика проведения занятий по математике может быть применена преподавателями математики.

Тема занятия: Степень с рациональным показателем

Цель урока:

Выявление уровня овладения обучающимися комплексом знаний и умений и на его основе применение определенных решений по совершенствованию учебного процесса.

Задачи урока:

Обучающие: формировать новые знания у обучающихся основных понятий, правил, законов на определение степени с рациональным показателем, умения самостоятельно применять знания в стандартных условиях, в измененных и нестандартных условиях;

развивающие: логически мыслить и реализовывать творческие способности;

воспитывающие: формировать интерес к математике, пополнить лексический запас новыми терминами, получить дополнительную информацию об окружающем мире. Воспитывать терпение, усидчивость, способность преодолевать трудности.

Организационный момент

Актуализация опорных знаний

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остается прежним:

Например,

2. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются, а основание остается прежним:

Например,

3. При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остается прежним:

Например,

4. Степень произведения равна произведению степеней множителей:

Например,

5. Степень частного равна частному степеней делимого н делителя:

Например,

Упражнения с решениями

Найти значение выражения:

Решение:

В данном случае в явной форме ни одно из свойств степени с натуральным показателем применить нельзя, так как все степени имеют разные основания. Запишем некоторые степени в другом виде:

(степень произведения равна произведению степеней множителей);

(при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остается прежним, при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остается прежним).

Тогда получим:

В данном примере были использованы первые четыре свойства степени с натуральным показателем.

Арифметический квадратный корень
- это неотрицательное число, квадрат которого равен a ,
. При
- выражение
не определено, т.к. нет такого действительного числа, квадрат которого равен отрицательному числу a .

Математический диктант (8-10 мин.)

Вариант

II. Вариант

1.Найти значение выражения

а)

б)

1.Найти значение выражения

а)

б)

2.Вычислить

а)

б)

В)

2.Вычислить

а)

б)

в)

Самопроверка (на отворотной доске):

Матрица ответов:

№ варианта/задания

Задача 1

Задача 2

Вариант 1

а) 2

б) 2

а) 0,5

б)

в)

Вариант 2

а) 1,5

б)

а)

б)

в) 4

II .Формирование новых знаний

Рассмотрим, какой смысл имеет выражение, где - положительное число – дробное число и m-целое,n-натуральное (n›1)

Определение: степенью числа a›0 с рациональным показателем r = , m -целое, n -натуральное (n ›1)называется число .

Итак:

Например:

Замечания:

1. Для любого положительно a и любого рационального r число положительно.

2. При
рациональная степень числа a не определяется.

Такие выражения как
не имеют смысла.

3.Если дробное положительное число то,
.

Если дробное отрицательное число, то - не имеет смысла.

Например: - не имеет смысла.

Рассмотрим свойства степени с рациональным показателем.

Пусть a >0, в>0; r, s - любые рациональные числа. Тогда степень с любым рациональным показателем обладает следующими свойствами:

1.
2.
3.
4.
5.

III . Закрепление. Формирование новых умений и навыков.

Карточки задания работа в малых группах в форме теста.

Цель урока:

Ввести понятие степени с рациональным показателем; научить переводить степень с рациональным показателем в корень и наоборот; вычислять степени с рациональным показателем.
Развитие памяти, мышления.
Формирование активности.

Тип урока: Объяснение нового материала.

Оборудование: Компьютер, интерактивная доска, интерактивные ресурсы, использование ЦОР.

“То, что мы знаем,– ограничено, а то, чего мы не знаем, – бесконечно”.
П. Лаплас

Ход урока

I. Актуализация.

Преподаватель:

1. Вспомните определение степени с натуральным показателем?

Ученик:

Ответ . Степенью числа а с целым показателем n>0 , называется произведение n множителей, каждый из которых равен а .

Пример: 5 3 = 5·5·5

Преподаватель:

2. Определение степени с целым отрицательным показателем?

Ученик:

Ответ. а - n = 1/a n где

Пример: 10 -4 = 1/10 4 ; 3 -8 = 1/3 8 ; (1/5) -2 = 5 2.

Преподаватель:

3. Выражение a n определено для всех a и n кроме..

Ученик:

Ответ. Случая а = 0 при n ≤ 0

Преподаватель:

4. Чем можно заменить =

Ученик:

Ответ. (Корень n – из числа а равняется а в степени 1/ n) = a 1/n

Преподаватель :

5. Перечислите свойства степеней с целым показателем.

Ученик:

Ответ. Для любого а ≠ 0 и любых целых m и n имеют место свойства

1. a m ·a n = a m+n
2. a m ÷ a n = a m-n
3. (a m) n = a mn

Для любых a ≠ 0 и b ≠ 0 и любого n имеет место свойства

4. (ab) n = a n b n

5 .(a/b) n = a n/ b n

6. Устная работа. Представьте корень в виде степени:

Представьте в виде степени с положительным показателем:

7 -3 ; 2 -2 ; 6 -3

Представьте в виде степени с отрицательным показателем:

(1/4) 5 ; (1/21) -3 ;

II. Объяснение нового материала.

Использование коллекции цифровых образовательных ресурсов.

ЦОР № 30. Степень с рациональным показателем и ее свойства.

Поясняю на конкретных примерах.

Замечание: При а < 0 рациональная степень числа, а не определена.

Поясним это на примере. Рассмотрим (-64) 1/3 = 3 √-64 = -4. С другой стороны: 1/3 = 2/6 и тогда (-64) 1/ 3 = (-64) 2/6 = 6 √(-64) 2 = 6√64 2 = 6 √4 6 = 4. Получаем противоречие.

III. Закрепление нового материала.

ЦОР № 31. Практика.

1. Представьте в виде корня выражение.

2. Представьте выражение в виде степени с рациональным показателем.

Контроль.

ЦОР № 32. Практика. Найти значение числового выражения.

Контроль.

IV. Итоги урока.

Мы изучили степень с рациональным показателем и ее свойства, а где они могут пригодиться?

Представление выражения в виде степени ….

Представьте выражение в виде корня 5 3/6 = ...

Вычислять степени с рациональным показателем.

Частично мы ответили сегодня.

Как применить степень с рациональным показателем при преобразовании и упрощении выражений, нахождение значений выражений мы познакомимся на следующих уроках.

V. Домашнее задание.